第五章：冲激函数

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2026-01-29

注

本章核心：引入广义函数（分布）的概念，重点定义和讨论单位冲激函数（ $\delta$ 函数）及其性质；阐述 $\delta$ 函数的微商、乘积及在信号处理中的应用；介绍如何用δ函数表示间断函数的导数。

§1 冲激函数的定义和频谱

1. 冲激函数的定义

从一个物理背景出发：考虑一个在极短时间内激发的脉冲。例如，定义一个宽度为 $\varepsilon$ 、高度为 $1/\varepsilon$ 的方波：

s_\varepsilon(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{\varepsilon}, & |t| < \dfrac{\varepsilon}{2} \\ \\ \,0, & |t| > \dfrac{\varepsilon}{2} \end{cases}

该方波面积恒为1。当 $\varepsilon \to 0$ 时，其极限称为单位冲激函数或 $\delta$ 函数，记为 $\delta(t)$ 。

冲激函数的数学定义

设 $p(t)$ 为“试验函数”（即在一个有限区间外为零且具有任意阶导数的函数），则 $\delta$ 函数定义为满足以下关系的广义函数：

\langle \delta(t), p(t) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) p(t) dt = p(0)

此式表明，δ函数的作用是“筛选”出试验函数在 $ t=0 $ 处的值。

冲激函数的基本性质

$\delta(-t) = \delta(t)$ （偶函数）
$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1$

2. 冲激函数的频谱

$\delta$ 函数的频谱为：

\Delta(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-i2\pi f t} dt = 1

这表明 $\delta$ 函数包含所有频率成分，其振幅谱恒为 1。

3. 符号信号与单位阶跃信号的频谱

符号信号的频谱

\text{sgn} t= \begin{cases} 1,&t>0\\ 0,&t=0\\ -1,&t<0 \end{cases}\\ \text{sgn}t \leftrightarrow \frac{1}{i\pi f}

单位阶跃信号的频谱

u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{sgn}t= \begin{cases} 1,&t>0\\ 1/2,&t=0\\ 0,&t<0 \end{cases}\\ U(f)=\frac{1}{2}\delta(f)+\frac{1}{i2\pi f}

§2 冲激函数的微商

1. 冲激函数微商的定义

$\delta$ 函数的 $k$ 阶微商 $\delta^{(k)}(t)$ 定义为：

\langle \delta^{(k)}(t), p(t) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \delta^{(k)}(t) p(t) dt = (-1)^k p^{(k)}(0)

这表明， $δ$ 函数的微商作用于试验函数时，等于试验函数导数在原点处的负值。

$\delta^{(k)}(-t)=(-1)^k\delta^{(k)}(t)$

2. 冲激函数微商的频谱

\delta^{(k)}(t) \leftrightarrow (i2\pi f)^k

3. 冲激函数微商与普通函数的乘积

设 $g(t)$ 在 $t = t_0$ 处有 $k$ 阶连续导数，则：

g(t) \delta^{(k)}(t - t_0) = \sum_{l=0}^{k} (-1)^l \binom{k}{l} g^{(l)}(t_0) \delta^{(k-l)}(t - t_0)

§3 用冲激函数求函数的微商和频谱

1. 单位阶跃函数的微商

u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(s)\text{d}s= \begin{cases} 1,&t>0\\ 0,&t<0 \end{cases}

u'(t)=\delta(t)

2. 用冲激函数表示间断函数的微商

设函数 $g(t)$ 在 $t = t_0$ 处有一个跳跃间断点，且在 $(-\infty, t_0)$ 和 $(t_0, +\infty)$ 上有 $k$ 阶连续导数。构造两个辅助函数：

g_1(t) = \begin{cases} g(t), & t < t_0 \\ g(t_0-) + g'(t_0-)(t-t_0) + \cdots + \frac{g^{(k)}(t_0-)}{k!}(t-t_0)^k, & t \ge t_0 \end{cases}

g_2(t) = \begin{cases} g(t), & t > t_0 \\ g(t_0+) + g'(t_0+)(t-t_0) + \cdots + \frac{g^{(k)}(t_0+)}{k!}(t-t_0)^k, & t \le t_0 \end{cases}

则 $g(t)$ 可表示为：

g(t) = u(t_0 - t) g_1(t) + u(t - t_0) g_2(t)

其中 $u(t)$ 为单位阶跃函数。

函数 $g(t)$ 的 $k$ 阶导数为：

g^{(k)}(t) = \sum_{l=0}^{k-1} \left[g^{(l)}(t_0+) - g^{(l)}(t_0-)\right] \delta^{(k-l)}(t - t_0) + u(t_0 - t) g_1^{(k)}(t) + u(t - t_0) g_2^{(k)}(t)

3. 用冲激函数求信号的频谱

设函数 $g(t)$ 的频谱为 $G(f)$ ，则根据傅里叶变换的微分性质：

h(t) = \frac{d^n g(t)}{dt^n}

H(f) = (i2\pi f)^n G(f)

现由 $h(t)$ 和 $H(f)$ （通常形式简单）出发，求 $G(f)$ ：

$g(t)$ 有通解形式： $g(t)=g_0(t)+c_0+c_1t+\dots+c_{n-1}t^{n-1}$ ，常系数由 $g(t)$ 的性质或数值确定
对应的 $G(f)=G_0(f)+c_0\delta(f)+c_1\delta^{(1)}(f)+\dots+c_{n-1}\delta^{(n-1)}(f)$
根据傅里叶变换的微分性质， $G_0(f)=\frac{H(f)}{(i2\pi f)^n}$
代入即得 $G(f)$

特别地，当 $g(t)$ 在有限区间外皆为 0 时， $c_0,\dots,c_{n-1}$ 皆为 0，此时 $g(t)$ 的频谱为

G(f)=\frac{H(f)}{(i2\pi f)^n}

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