第八章:相关分析
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2026-01-29
注
本章核心:定义相关系数与相关函数;揭示相关与褶积的等价关系;讨论自相关与互相关的性质;引入循环相关及其与普通相关的联系;拓展至多道信号相关分析。
§1 相关的基本概念,相关与褶积的关系
1. 相关系数
设离散信号 xn 与 yn,定义其在区间 [N1,N2] 上的相关系数为:
ρxy(N1,N2)=∑n=N1N2xn2⋅∑n=N1N2yn2∑n=N1N2xnyn
其物理意义:
- ∣ρxy(N1,N2)∣≈1:两信号高度相似(线性相关)。
- ∣ρxy(N1,N2)∣≈0:两信号不相似(正交或无关)。
对能量有限信号(∑∣xn∣2<∞,∑∣yn∣2<∞),定义无界相关系数为:
rxy=n=−∞∑∞xnyn
称 rxy 为未标准化的相关系数,仍反映相似性程度。
2. 相关函数
为考虑信号时移下的相似性,引入互相关函数:
rxy(τ)=n=−∞∑∞xnyn−τ,τ∈Z
- τ:y 相对于 x 的延迟。
- 若 ∣rxy(τ0)∣=maxτ∣rxy(τ)∣,表明 yn−τ0 与 xn 最相似。
- 互相关不可交换,但满足:
ryx(τ)=rxy(−τ)
自相关函数:
rxx(τ)=n=−∞∑∞xnxn−τ
3. 相关与褶积的关系
有实离散信号 xn,yn,则其互相关函数 rxy 与褶积满足:
rxy=xn∗y−n
设 X(f),Y(f),Rxy(f) 分别为 xn,yn,rxy 的频谱,则:
Rxy(f)=X(f)⋅Y(f)
设 X(Z),Y(Z),Rxy(Z) 为其 Z 变换,则:
Rxy(Z)=X(Z)⋅Y(Z−1)
§2 相关函数的性质
1. 自相关函数的性质
设能量有限实信号 xn,其自相关函数 rxx(τ) 具有如下性质:
- ∣rxx(τ)∣≤rxx(0),最大值在 τ=0 处。
- rxx(−τ)=rxx(τ)(偶函数)。
- lim∣τ∣→∞rxx(τ)=0 。
- 自相关函数 rxx(τ) 的波形只与信号的振幅谱有关(因 Rxx(f)=∣X(f)∣2)。
- 自相关矩阵为正定陶布利兹矩阵:
rxx(0)rxx(1)⋮rxx(N)rxx(1)rxx(0)⋮rxx(N−1)⋯⋯⋱⋯rxx(N)rxx(N−1)⋮rxx(0)
定理 1(自相关充要条件)
序列 r(n) 为某能量有限信号的自相关函数的充分必要条件是其频谱 R(f)≥0 。
即:r(n)=rgg(n) 当且仅当 R(f)=∣G(f)∣2≥0 。
定理 2(单边自相关性质)
设 r(n) 为自相关函数,r(0)>0,定义单边自相关函数:
g(n)={r(n),0,n≥0n<0
其 Z 变换为
G(Z)=n=0∑∞r(n)Zn
则其在单位圆内无零点(即 G(Z)=0,当 ∣Z∣<1),且其频谱实部满足:
ReG(f)=21[R(f)+r(0)]
注
推论:单边自相关函数 g(n) 是最小相位信号。
2. 互相关函数的性质
能量有限实信号 xn,yn,其互相关函数 rxy(τ) 满足:
- 对称性:ryx(τ)=rxy(−τ) 。
- 不等式:
∣rxy(τ)∣≤rxx(0)⋅ryy(0)
- lim∣τ∣→∞rxy(τ)=0 。
- 互相关函数仅包含 xn 与 yn 共有的频率成分(因 Rxy(f)=X(f)Y(f))。
§3 循环相关和普通相关
1. 有限离散傅氏变换的循环相关
设长度为 N 的实信号:
xn=(x0,x1,…,xN−1),yn=(y0,y1,…,yN−1)
它们的有限离散频谱为 Xm,Ym。定义循环互相关为:
rxy(N)(n)=xn∗y−n [N]=k=0∑N−1xky(k−n)modN
循环互相关 rxy(N)(n) 与频谱关系为:
rxy(N)(n)⟷FDFTXm⋅Ym
2. 循环相关与普通相关的关系
设原始信号为:
xn={xn,0,0≤n≤M−1其他,yn={yn,0,0≤n≤L−1其他
以 N 为周期延拓得 xn(N),yn(N),定义其循环相关为 rxy(N)(n)。
循环相关定理
当 0≤n≤N−L 时,有:
rxy(n)=rxy(N)(n)
特别地,若 N≥M+L−1,则对所有 0≤n≤N−1,均有:
rxy(N)(n)={rxy(n),rxy(n−N),0≤n≤N−LN−L<n≤N−1
3. 利用 FFT 计算相关函数
3.1 互相关计算
设实离散信号
xn={xn,0,0≤n≤M−1其他yn={yn,0,0≤n≤L−1其他
现需计算:
rxy(n),0≤n≤K
- 选 N=2k≥L+K
- 构造周期延拓信号 xn(N),yn(N)
- 用 FFT 计算 Xm,Ym
- 计算 Rm=Xm⋅Ym
- 用 IFFT 得 rxy(N)(n),取 0≤n≤N−L 即为 rxy(n)
3.2 自相关计算
设 xn 为长度 M 信号
xn={xn,0,0≤n≤M−1其他
其自相关函数为
rxx(n)={∑l=0M−1xlxn+l,0,∣n∣≤M−1∣n∣>M−1
由于 rxx(n)=rxx(−n),只需计算 0≤n≤M−1。
- 取 N=2k≥2M−1
- 构造周期延拓信号 xn(N)
- 用 FFT 计算 Xm
- 计算 Rm=∣Xm∣2
- 用 IFFT 得 rxx(N)(n),取 0≤n≤N−M 即为 rxx(n)
3.3 分段求和法
当 L 较大时,若按前述选 N≥L+K,则 N≈L 过大,内存和硬件受限,此时可采用分段求和法。
K=2qL=J⋅K
取 N=2K
定义 J 段子信号(长度为 N)
yn(j)={yn+jK,0,0≤n<KK≤n<2K
xn(j)=xn+jK,0≤n<2K
对每段信号计算互相关
- 计算 Xm(j)=FFT[xn(j)],Ym(j)=FFT[yn(j)]
- Rm(j)=Xm(j)⋅Ym(j)
- rn(j)=IFFT[Rm(j)],0≤n<2K
- 取前 K 点:rxy(j)(n)=rn(j),0≤n<K
累加得最终结果
rxy(n)=j=0∑J−1rxy(j)(n),0≤n<K
§4 多道相关
设 M 道信号 xj(n), 1≤j≤M, 1≤n≤N,定义其与标准信号 xˉ(n) 的总误差能量为:
Q=j=1∑Mn=1∑N[xj(n)−xˉ(n)]2
当 xˉ(n) 使 Q 最小(即 xˉ(n)=M1∑j=1Mxj(n),算术平均)时,得:
Q=j=1∑Mn=1∑Nxj2(n)−Mn=1∑Nxˉ2(n)
定义以下多道相似性度量标准:
| 标准 | 表达式 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 能量比标准 E | E=∑j∑nxj2(n)M∑nxˉ2(n) | 平均信号能量占比 |
| 叠加能量标准 D | D=M∑nxˉ2(n)=M1∑n(∑jxj(n))2 | 堆叠后能量大小 |
| 叠加振幅标准 S | S=M1∑n∑jxj(n) | 堆叠振幅和 |
| 未标准化相关系数 K | K=∑i=j∑nxi(n)xj(n)=∑n(∑jxj(n))2−∑j∑nxj2(n) | 两两互相关之和 |
| 标准化相关系数 R | R=(M−1)∑j∑nxj2(n)K | 归一化多道相似度 |
| 相对误差能量 | ∑j∑nxj2(n)Q=MM−1(1−R) | 总误差能量与总能量之比 |
注
0≤E≤1
0≤D≤∑j∑nxj2(n)
−M−11≤R≤1
−∑j∑nxj2(n)≤K≤(M−1)∑j∑nxj2(n)
E=1 或 R=1 等价于所有 xj(n) 波形完全相同,因此对多道信号预先进行规格化处理能更直接反映相似性。