代数基础

张量的基本概念

张量是标量和向量的推广，是与坐标系选择无关的几何对象，在具体坐标系下由一组分量表示。

阶数	名称	3D 空间分量数	应用实例
0	标量	1	密度 $\rho$、温度 $T$、压力 $P$
1	向量	3	位移 $\mathbf{u}$、力 $\mathbf{f}$、速度 $\mathbf{v}$
2	二阶张量	9	应力 $\sigma_{ij}$、应变 $\epsilon_{ij}$、地震矩张量 $M_{ij}$
4	四阶张量	81	弹性刚度张量 $C_{ijkl}$

爱因斯坦求和约定

规则：在一个单项式中，若某个下标出现两次，则表示对该下标的所有可能值求和。

下标类型：

• 自由下标：只出现一次，代表方程的分量形式（$i = 1,2,3$）
• 哑标：出现两次，代表求和，字母可随意更换

数字信号处理

傅里叶变换

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$

$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$$

注

更多内容请参见 地球物理信号处理：信号频谱与傅氏变换

卷积

$$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau$$

注

更多内容请参见 地球物理信号处理：滤波与褶积，Z变换

希尔伯特变换

希尔伯特变换是将信号所有频率分量的相位推迟 $\dfrac{\pi}{2}$ 的线性算子。

$$\cos(\omega t) \xrightarrow{H} \sin(\omega t)$$

$$\sin(\omega t) \xrightarrow{H} -\cos(\omega t)$$

解析信号

解析信号是由实值信号及其希尔伯特变换构成的复值信号，不含负频率分量。

$$z(t) = x(t) + i\hat{x}(t) = A(t)e^{i\phi(t)}$$

属性	公式	应用
瞬时振幅（包络）	$A(t) = \sqrt{x^2(t) + \hat{x}^2(t)}$	震相拾取、包络分析
瞬时相位	$\phi(t) = \arctan\left(\dfrac{\hat{x}(t)}{x(t)}\right)$	波形对比、相位追踪
瞬时频率	$\omega(t) = \dfrac{d\phi(t)}{dt}$	频散分析

注

更多内容请参见 地球物理信号处理：希尔伯特变换与实信号的复数表示

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