地震射线的振幅

射线理论将波动方程在高频近似下化为程函方程（相位）与输运方程（振幅）。振幅变化主要由两部分控制：几何扩散（射线管截面积变化）与界面作用（反射/透射系数）。

射线管与能流守恒

在均匀或缓慢变化的无耗散介质中，能量沿射线管传播且总功率守恒。设射线管在位置 $s_1$ 和 $s_2$ 处的横截面积分别为 $d\Sigma_1$ 和 $d\Sigma_2$，能流密度（强度）为 $I = \langle E \rangle c$。

地震波能量密度（时间平均）：

$$\langle E \rangle = E_k + E_p = \frac{1}{2}\rho A^2 \omega^2$$

能流密度：

$$I = \langle E \rangle c = \frac{1}{2}\rho c \omega^2 A^2$$

由能流守恒 $I_1 d\Sigma_1 = I_2 d\Sigma_2$，得振幅比：

$$\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{\rho_1 c_1 d\Sigma_1}{\rho_2 c_2 d\Sigma_2}}$$

该式表明，振幅受介质阻抗 $\rho c$ 与射线管几何扩散 $d\Sigma$ 共同调制。

一维速度模型的几何扩散

水平分层介质

取二维平面（$x,z$），射线参数 $p = \frac{\sin\theta(z)}{v(z)}$ 为常数。水平距离 $X$ 与射线参数 $p$ 的映射关系为：

$$X(p) = 2\int_{0}^{z_p} \frac{p v(z)}{\sqrt{1 - p^2 v^2(z)}} dz$$

射线管横截面变化率由 Jacobian $\left|\frac{dX}{dp}\right|$ 决定。设震源处初始振幅为 $A_0$，地表接收点振幅为：

$$A(X) = A_0 \sqrt{\frac{\rho_0 v_0 \cos\theta_0}{\rho(X) v(X) \cos\theta(X) \left|\frac{dX}{dp}\right|}}$$

其中 $\frac{dp}{dX}$（或其倒数）即为射线聚焦/散焦的量化指标：

• $\left|\frac{dX}{dp}\right|$ 大：射线散焦，振幅衰减快
• $\left|\frac{dX}{dp}\right| \to 0$：射线聚焦（焦散线），射线理论振幅发散，需引入 Maslov 渐近或衍射修正

注：$\tilde{E}(X) \propto \frac{dp}{dX} E_s$ 本质是能量密度与 Jacobian 的反比关系，$\frac{pv_0^2}{\cos\theta_0}$ 项来源于球面/柱面波前的初始展开系数与阻抗归一化。

球对称介质

球坐标下，射线管截面积与 $r^2 \sin\Delta$ 成正比。考虑点源激发，几何扩散因子为：

$$J(\Delta, p) = \left| \frac{p}{\sin\Delta} \frac{d\Delta}{dp} \right|$$

振幅表达式：

$$A(\Delta) = A_0 \frac{1}{r} \sqrt{\frac{\rho_0 v_0}{\rho(r) v(r)}} \frac{1}{\sqrt{J(\Delta, p)}}$$

其中 $\Delta(p)$ 为前文推导的转角积分。球对称模型的几何扩散在 $\Delta \approx 0^\circ$ 和 $\Delta \approx 180^\circ$ 处表现不同：

• 近震区：柱面扩散主导，$A \propto 1/\sqrt{\Delta}$
• 远震区：球面扩散主导，$A \propto 1/\Delta$
• 焦散点：$d\Delta/dp = 0$（如 PKP 的 AB/BC 分支交界处），射线振幅奇点，实际观测中表现为波形叠加强化。

间断面处的振幅变化

当波到达界面时，必须满足位移连续和应力连续的边界条件。

1. SH 波在平面处的折射与反射

SH 波（剪切横波）的位移方向垂直于入射面（仅 $u_y$ 分量），其受力简单，不产生波型转换。

边界条件：

• 位移连续：$u_1 = u_2$
• 切向应力连续：$\tau_{zy1} = \tau_{zy2}$ （其中 $\tau_{zy} = \mu \frac{\partial u_y}{\partial z}$）

反射与透射系数： 设入射、反射、透射波的振幅分别为 $1, R, T$，介质参数分别为 $(\rho_1, \beta_1)$ 和 $(\rho_2, \beta_2)$，垂直慢度为 $\eta = \cos\theta/\beta$。

$$R_{SS} = \frac{\rho_1 \beta_1 \cos\theta_1 - \rho_2 \beta_2 \cos\theta_2}{\rho_1 \beta_1 \cos\theta_1 + \rho_2 \beta_2 \cos\theta_2}$$

$$T_{SS} = \frac{2 \rho_1 \beta_1 \cos\theta_1}{\rho_1 \beta_1 \cos\theta_1 + \rho_2 \beta_2 \cos\theta_2}$$

其中 $\rho \beta \cos\theta$ 可视为垂直波阻抗。

注

证明简述： 设位移场 $u_y = e^{i\omega(px - \eta_1 z)} + R e^{i\omega(px + \eta_1 z)}$（上层）和 $u_y = T e^{i\omega(px - \eta_2 z)}$（下层）。 代入 $z=0$：

1. $1 + R = T$
2. $\mu_1 (-i\omega \eta_1) + R \mu_1 (i\omega \eta_1) = T \mu_2 (-i\omega \eta_2) \Rightarrow \mu_1 \eta_1 (1 - R) = \mu_2 \eta_2 T$

联立求解即得上述公式。

2. SH 波在自由界面的反射

对于自由表面，$z=0$ 处应力为零（$\mu \frac{\partial u_y}{\partial z} = 0$）。

• 反射系数： $R_{SS} = 1$
• 结论： SH 波在自由界面发生全反射，且位移在表面加倍（$1+R=2$），这解释了地表强震动观测中 SH 分量的显著性。

3. P-SV 波在平面处的折射与反射（Zoeppritz 方程）

P-SV 波在入射时会发生波型转换（Mode Conversion），即一个入射 P 波会产生反射 P、反射 SV、透射 P、透射 SV 四种波。

边界条件（4个）：

• 位移连续：$u_x, u_z$ 连续
• 应力连续：$\tau_{zz}, \tau_{zx}$ 连续

设入射波为 P 波，振幅为 $A_0$。其反射/透射系数满足 Zoeppritz 方程组：

$$\begin{pmatrix} -\sin\theta_{P1} & -\cos\theta_{S1} & \sin\theta_{P2} & \cos\theta_{S2} \\ \cos\theta_{P1} & -\sin\theta_{S1} & \cos\theta_{P2} & -\sin\theta_{S2} \\ \sin2\theta_{P1} & \frac{\alpha_1}{\beta_1}\cos2\theta_{S1} & \frac{\rho_2\beta_2^2\alpha_1}{\rho_1\beta_1^2\alpha_2}\sin2\theta_{P2} & \frac{\rho_2\beta_2\alpha_1}{\rho_1\beta_1^2}\cos2\theta_{S2} \\ -\cos2\theta_{S1} & \frac{\beta_1}{\alpha_1}\sin2\theta_{S1} & \frac{\rho_2\alpha_2}{\rho_1\alpha_1}\cos2\theta_{S2} & -\frac{\rho_2\beta_2}{\rho_1\alpha_1}\sin2\theta_{S2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R_{PP} \\ R_{PS} \\ T_{PP} \\ T_{PS} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\theta_{P1} \\ \cos\theta_{P1} \\ \sin2\theta_{P1} \\ \cos2\theta_{S1} \end{pmatrix}$$

注

证明思路： 定义位移势函数 $\phi$ (P波) 和 $\psi$ (SV波)。 位移 $u = \nabla \phi + \nabla \times \psi$，应力由虎克定律给出。 在界面 $z=0$ 处，写出包含所有反射和透射项的势函数表达式，代入四个连续性方程。通过斯奈尔定律 $p = \frac{\sin\theta_{P1}}{\alpha_1} = \frac{\sin\theta_{S1}}{\beta_1} = \dots$ 消去空间相位项，最终整理成关于振幅系数的线性方程组。

4. P-SV 波在自由界面的反射

在自由表面（$\rho_2=0, \beta_2=0$），应力 $\tau_{zz} = \tau_{zx} = 0$。

P 波入射时的反射系数：

$$R_{PP} = \frac{4p^2 \eta_\alpha \eta_\beta - (1/\beta^2 - 2p^2)^2}{4p^2 \eta_\alpha \eta_\beta + (1/\beta^2 - 2p^2)^2}$$

$$R_{PS} = \frac{4p \eta_\alpha (1/\beta^2 - 2p^2)}{4p^2 \eta_\alpha \eta_\beta + (1/\beta^2 - 2p^2)^2}$$

其中 $p$ 是射线参数，$\eta_\alpha, \eta_\beta$ 是垂直慢度。

物理特性：

• 转换波： 即使是纯 P 波入射，也会激发出反射 SV 波。
• 临界角： 当 $p > 1/\alpha$ 时，发生全反射，相位会发生移动。
• 地表振幅放大： 地表的实际位移是入射波与反射波的矢量合。由于 $R_{PP}$ 和 $R_{PS}$ 的存在，地表垂直位移通常不是入射波的两倍，而是角度的复杂函数。

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