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第三章：本构关系

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2026-01-28

1 广义胡克定律

1.1 各向同性介质

1.1.1 本构关系基本形式

  • 应力-应变关系：

    σij=2Gεij+λεkkδij\sigma_{ij} = 2G\varepsilon_{ij} + \lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}

    其中：

    • σij\sigma_{ij} 为应力张量分量
    • εij\varepsilon_{ij} 为应变张量分量
    • GG 为剪切模量，λ\lambda 为 Lamé 常数
    • εkk=ε11+ε22+ε33\varepsilon_{kk} = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} 为体积应变
    • δij\delta_{ij} 为 Kronecker 符号

  • 应变-应力关系：

    εij=1+νEσij−νEσkkδij\varepsilon_{ij} = \frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij} - \frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}

    其中：

    • EE 为杨氏模量
    • ν\nu 为泊松比
    • σkk=σ11+σ22+σ33\sigma_{kk} = \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33} 为第一应力不变量

  • 膨胀度-压力关系：

    在静水压力状态下，即

    σx=σy=σz=−pτxy=τyz=τxz=0\sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-p\\ \tau_{xy}=\tau_{yz}=\tau_{xz}=0

    定义膨胀度：

    ε=ΔVV\varepsilon=\frac{\Delta V}{V}

    Note

    利用小变形假设可推出：

    ε=εx+εy+εz\varepsilon=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z

    则有以下关系

    ε=−1Kp\varepsilon=-\frac{1}{K}p

    其中：

    • KK 为体积模量

1.1.2 弹性常数关系

上述弹性常数满足以下的关系：

G=E2(1+ν),λ=Eν(1+ν)(1−2ν),K=λ+23G=E3(1−2ν)G = \frac{E}{2(1+\nu)}, \quad \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \quad K = \lambda + \frac{2}{3}G = \frac{E}{3(1-2\nu)}

弹性常数取值范围：

  • E>0E > 0, G>0G > 0, K>0K > 0
  • 泊松比理论范围：−1<ν<12-1 < \nu < \frac{1}{2}
  • 常见材料：0<ν<0.50 < \nu < 0.5
  • 不可压缩材料：ν=0.5\nu = 0.5, 此时 K→∞K \to \infty

1.2 各向异性介质

1.2.1 一般各向异性材料

广义胡克定律一般形式为：

σij=Cijklεkl\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}

其中 CijklC_{ijkl} 为弹性张量，共有 81 个分量。

  • 由应力张量对称性：Cijkl=CjiklC_{ijkl} = C_{jikl}
  • 由应变张量对称性：Cijkl=CijlkC_{ijkl} = C_{ijlk}
  • 由应变能存在条件：Cijkl=CklijC_{ijkl} = C_{klij}

因此独立弹性常数减少至21个。

1.2.2 具有一个对称面的材料

独立弹性常数可进一步减少至 13。

1.2.3 具有两个对称面的材料

独立弹性常数可进一步减少至 9。

1.2.4 具有一根旋转对称轴的材料

独立弹性常数可进一步减少至 5。

1.2.5 具有两根旋转对称轴的材料

独立弹性常数可进一步减少至 2，这正是各向同性材料。

2 热弹性体本构关系

若考虑热变形，本构关系调整为如下形式

εij∗=εij+αijTσij∗=σij−βijT\varepsilon_{ij}^*=\varepsilon_{ij}+\alpha_{ij}T\\ \sigma_{ij}^* = \sigma_{ij} - \beta_{ij}T

其中：

  • T=θ−θ0T = \theta - \theta_0 为温度变化，θ0\theta_0 为参考温度
  • αij,βij\alpha_{ij},\beta_{ij} 为热膨胀系数张量

以各向同性热弹性材料为例，αij=αδij,βij=βδij\alpha_{ij}=\alpha\delta_{ij},\beta_{ij}=\beta\delta_{ij}，故

σij=2Gεij+λεkkδij−βTδij\sigma_{ij} = 2G\varepsilon_{ij} + \lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij} - \beta T\delta_{ij}

εij=1+νEσij−νEσkkδij+αTδij\varepsilon_{ij} = \frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij} - \frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij} + \alpha T\delta_{ij}

3 孔隙弹性体本构关系

Note

定义孔隙度为

n=VpVn = \frac{V_p}{V}

其中 VpV_p 为孔隙体积，VV 为总体积。

对于孔隙弹性体，介质中的总应力可以表示为有效应力和空隙压力之和：

σij=σij′−p δij\sigma_{ij} = \sigma'_{ij} - p\, \delta_{ij}

其中：

  • σij\sigma_{ij} 为总应力
  • σij′\sigma'_{ij} 为有效应力
  • pp 为孔隙压力

则总应变可以表示为有效应力引起的应变和孔隙压力引起的应变之和：

εij=εij′+εijp\varepsilon_{ij} = \varepsilon'_{ij} + \varepsilon^p_{ij}

其中：

  • εij\varepsilon_{ij} 为总应变
  • εij′\varepsilon'_{ij} 为有效应力引起的应变
  • εijp\varepsilon^p_{ij} 为孔隙压力引起的应变

Note

假设介质具有各向同性。

εij′=1+νEσij′−νEσkk′δij=1+νE(σij+pδij)−νE(σkk+3p)δij\varepsilon'_{ij} = \frac{1+\nu}{E}\sigma'_{ij} - \frac{\nu}{E}\sigma'_{kk}\delta_{ij}=\frac{1+\nu}{E}(\sigma_{ij}+p\delta_{ij}) - \frac{\nu}{E}(\sigma_{kk}+3p)\delta_{ij}

εijp=−p3K\varepsilon^p_{ij}=-\frac{p}{3K}

4 库仑破裂准则

4.1 库仑破裂条件

∣τ∣=c0−μσn|\tau| = c_0 - \mu\sigma_n

其中：

  • τ\tau 为抗剪强度
  • σ\sigma 为正应力
  • μ=tan⁡ϕ\mu = \tan\phi 为内摩擦系数，ϕ\phi 为内摩擦角
  • c0c_0 为内聚力

当 Mohr 应力圆与破裂包络线相切时，材料发生剪切破坏。

4.2 断层类型

Note

以下讨论均基于 σ1>σ2>σ3\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3。

  • 逆断层（Reverse fault）：

    σ1\sigma_1 为垂直应力，σ3\sigma_3 为水平应力。岩体受拉伸作用，上盘相对下盘下滑。

  • 正断层（Normal fault）：

    σ3\sigma_3 为垂直应力，σ1\sigma_1 为水平应力。岩体受压缩作用，上盘相对下盘上冲。

  • 走滑断层（Strike-slip fault）：

    σ2\sigma_2 为垂直应力。岩体受剪切作用，两盘沿断层走向相对滑动。

4.3 流体压力对破裂的影响

对于孔隙弹性体，需要考虑流体压力对破裂。其中莫尔圆中的应力对应总应力，而破裂包络线中的应力对应的是有效应力，因此破裂线的方程转换为

∣τ∣=c0−μ(σn+p)|\tau| = c_0 - \mu(\sigma_n+p)

使得破裂线整体左移而莫尔圆保持不动，由此得知孔隙压力 pp 会促进破裂。

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