对抽样间隔为 $\Delta$ 的离散信号 $x(n\Delta)$ ，滤波因子 $h(n\Delta)$ ，其频谱分别为 $X_\Delta(f), H_\Delta(f)$ 。若 $x(t), h(t)$ 均有截频 $f_c$ ，且抽样满足 $1/(2\Delta) \ge f_c$ ，则离散滤波可精确实现连续滤波。

离散滤波关系为：

Y_\Delta(f) = X_\Delta(f) H_\Delta(f)

对应时域关系（褶积）为：

y(n\Delta) = \Delta \sum_{\tau = -\infty}^{\infty} h(\tau\Delta) x\big((n - \tau)\Delta\big)

记为：

y(n\Delta) = x(n\Delta) * h(n\Delta)

2. 褶积的直观意义

将离散褶积改写为：

y(n\Delta) = \Delta \sum_{\tau = -\infty}^{\infty} h(-\tau\Delta) x\big((n + \tau)\Delta\big)

几何解释：

将 $h(\cdot)$ 作翻褶（ $h(\tau) \to h(-\tau)$ ）
将翻褶后的 $h(-\tau)$ 与 $x(\tau)$ 对齐于 $n$ 处
逐点相乘并求和（乘积累加），即得 $y(n\Delta)$
移动对齐点 $n \to n+1$ ，重复即可得整个输出序列

此即“褶而后积”名称来源：先翻褶，再对应相乘累加。

§3 信号的能谱与能量等式，功率谱与平均功率等式

1. 连续信号的能谱与能量等式

信号能量定义为：

E = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2(t)\, dt

若 $x(t)$ 频谱为 $X(f)$ ，则有能量等式（Parseval 等式）：

\int_{-\infty}^{\infty} x^2(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2\, df

$|X(f)|^2$ 称为 $x(t)$ 的能谱。

2. 连续信号的功率谱与平均功率等式

若信号能量无限（如周期信号、平稳随机信号），则研究平均功率：

P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x^2(t)\, dt

其功率谱定义为：

G(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \left| \int_{-T}^{T} x(t) e^{-i2\pi ft}\, dt \right|^2

对应平均功率等式：

P = \int_{-\infty}^{\infty} G(f)\, df

3. 离散信号的能谱与能量等式

离散信号 $x(n\Delta)$ 的能量为：

E = \Delta \sum_{n = -\infty}^{\infty} |x(n\Delta)|^2

其频谱为 $X_\Delta(f)$ ，则离散能量等式为：

\Delta \sum_{n = -\infty}^{\infty} |x(n\Delta)|^2 = \int_{-1/(2\Delta)}^{1/(2\Delta)} |X_\Delta(f)|^2\, df

$|X_\Delta(f)|^2$ 为离散信号的能谱。

4. 离散信号的功率谱与平均功率等式

离散信号平均功率定义为：

P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n = -N}^{N} |x(n\Delta)|^2

其功率谱为：

G(f) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{(2N+1)\Delta} \left| \sum_{n = -N}^{N} x(n\Delta) e^{-i2\pi n \Delta f} \right|^2

满足平均功率等式：

P = \int_{-1/(2\Delta)}^{1/(2\Delta)} G(f)\, df

§4 离散信号与频谱的简化表示

为简化记号与计算，引入以下简化约定：

以 $x_n$ 表示 $x(n\Delta)$

定义三种频谱形式（取决于变量选择）：

类型	频谱表达式	变量范围
$X_\Delta(f)$	$X_\Delta(f) = \Delta \sum_{n} x_n e^{-i2\pi n \Delta f}$	$f \in [-\frac{1}{2\Delta}, \frac{1}{2\Delta}]$
$X(f)$	$X(f) = \sum_{n} x_n e^{-i2\pi n \Delta f}$	$f \in [-\frac{1}{2\Delta}, \frac{1}{2\Delta}]$
$X(\omega)$	$X(\omega) = \sum_{n} x_n e^{-i n \omega}$	$\omega \in [-\pi, \pi]$ ，其中 $\omega = 2\pi \Delta f$

能量关系（统一形式）：

\sum_{n = -\infty}^{\infty} |x_n|^2 = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\Delta} \int_{-1/(2\Delta)}^{1/(2\Delta)} |X_\Delta(f)|^2\, df \\ \displaystyle \Delta \int_{-1/(2\Delta)}^{1/(2\Delta)} |X(f)|^2\, df \\ \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(\omega)|^2\, d\omega \end{cases}

褶积简化表示：

g_n = x_n * h_n = \sum_{\tau = -\infty}^{\infty} h_\tau x_{n - \tau}\\ y_n=\Delta g(n)

对应频域为：

G(f) = X(f) H(f),\quad G(\omega) = X(\omega) H(\omega)\\ Y(f)=\Delta G(f),\quad Y(\omega)=\Delta G(\omega)

§5 离散信号的 Z 变换

Note

将离散信号频谱 $X(\omega) = \sum x_n e^{-i n \omega}$ 中的 $e^{-i\omega}$ 替换为复变量 $Z$ ，即得 Z 变换。它将频谱表达转换为幂级数形式，便于代数运算与系统分析。

1. 离散序列的频谱与 Z 变换

设离散序列 $x_n$ ，定义其 Z 变换为：

X(Z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x_n Z^n

与频谱关系为：

X(\omega) = X(Z) \bigg|_{Z = e^{-i\omega}},\quad X(f) = X(Z) \bigg|_{Z = e^{-i2\pi \Delta f}}

即：Z 变换是频谱的代数化表示， $Z$ 为复变量。

Z 变换基本性质：

运算	时域	Z 域
褶积	$y_n = x_n * h_n$	$Y(Z) = X(Z) H(Z)$
翻转	$g_n = x_{-n}$	$G(Z) = X(Z^{-1})$
相关	$r_{xy}(n) = x_n * y_{-n}$	$R_{xy}(Z) = X(Z) Y(Z^{-1})$
自相关	$r_{xx}(n) = x_n * x_{-n}$	$R_{xx}(Z) = X(Z) X(Z^{-1})$
时移	$x_{n - t}$	$Z^t X(Z)$

2. 频谱与 Z 变换展开式的惟一性

展开式惟一定理：

若离散序列 $x_n$ 的频谱或 Z 变换有展开式：

X(\omega) = \sum c_n e^{-i n \omega} \quad \text{或} \quad X(Z) = \sum c_n Z^n

则系数 $c_n$ 唯一确定，且 $c_n = x_n$ 。

应用：可直接从 $X(Z)$ 的幂级数展开中读出序列 $x_n$ 。

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