Note

本章核心：研究理想滤波器的不可实现性及其改进方法；系统介绍窗函数法（含性能分析与设计流程）；阐述广义线性相位 FIR 滤波器的四种类型及频谱结构；补充频率抽样法与误差最大最小优化法。

§1 理想滤波器及其存在的问题

1. 理想滤波器

滤波器类型	频谱$H(f)$（$|f| \le \frac{1}{2\Delta}$）	说明
理想低通	$H_1(f) = \begin{cases}1, & |f| \le f_1 \\ 0, & f_1 < |f| \le \frac{1}{2\Delta} \end{cases}$	$f_1$：高通频率
理想带通	$H_2(f) = \begin{cases}1, & f_1 < |f| \le f_2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$	$f_1$：低通频率；$f_2$：高通频率
理想高通	$H_3(f) = \begin{cases}0, & |f| \le f_1 \\ 1, & f_1 < |f| \le \frac{1}{2\Delta} \end{cases}$	$f_1$：高截频率
理想带阻	$H_4(f) = \begin{cases}0, & f_1 < |f| \le f_2 \\ 1, & \text{其他} \end{cases}$	$f_1$：低截频率；$f_2$：高截频率
希尔伯特滤波器	$H_5(f) = \begin{cases} -i, & 0 < f \le \frac{1}{2\Delta} \\ i, & -\frac{1}{2\Delta} < f < 0 \end{cases}$	用于 90° 相移
理想微分滤波器	$H_6(f) = i2\pi f$	对应微分运算

Note

对应的时域脉冲响应

• 理想低通：$h_1(n) = \dfrac{\sin 2\pi f_1 n \Delta}{\pi n \Delta}$
• 希尔伯特：$h_5(n) = \begin{cases} 0, & n = 0 \\ \dfrac{1 - (-1)^n}{\pi n \Delta}, & n \ne 0 \end{cases}$
• 理想微分：$h_6(n) = \begin{cases} 0, & n = 0 \\ \dfrac{2\cos \pi n}{n \Delta}, & n \ne 0 \end{cases}$

2. 理想滤波器存在的问题

• 根本问题：理想滤波器的时域脉冲响应 $h(n)$ 无限长。

• 截尾引起的吉布斯现象：

  将 $h(n)$ 截尾为有限长 $h_N(n) = h(n) \cdot g_N(n)$（$g_N$为矩形窗），其频谱 $H_N(f)$ 在理想突变点（如 $\pm f_1$）附近产生严重振荡。

3. 近似理想滤波器技术指标（以低通为例）

定义于圆频率 $\omega = 2\pi \Delta f$ 域：

$$\begin{cases} 1 - \delta_p \le |H(\omega)| \le 1 + \delta_p, & 0 \le \omega \le \omega_p \\ |H(\omega)| \le \delta_s, & \omega_s \le \omega \le \pi \end{cases}$$

• $\omega_p$：通带截止频率

• $\omega_s$：阻带起始频率

• $\delta_p$：通带波动

• $\delta_s$：阻带波动

• 过渡带：$[\omega_p, \omega_s]$，中点$\frac{1}{2}(\omega_p + \omega_s)$对应理想截频

• 分贝表示：$\alpha_p = 20\lg(1 - \delta_p)$，$\alpha_s = 20\lg \delta_s$

§2 时窗函数

1. 矩形时窗与截尾效应

• 矩形时窗：

  $$g_N(n) = \begin{cases} 1, & |n| \le N \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

  对应频谱（主瓣+旁瓣）：

  $$G_N(f) = \frac{\sin 2\pi (N + \tfrac{1}{2}) \Delta f}{\sin \pi \Delta f}$$

  

• 主瓣宽度：$2f_N = \frac{2}{(2N+1)\Delta}$

• 吉布斯现象成因：

  截尾频谱 $X_N(f) = X(f) * G_N(f)$，主瓣使原频谱平滑，旁瓣泄漏引起振荡。

• 好的时窗函数要求：

  1. 旁瓣峰值低，减小泄漏效应；
  2. 主瓣宽度窄，提高频率分辨率。

2. 常用时窗函数

2.1 矩形（Rectangular）时窗

$$w_1(t) = \begin{cases} 1, & |t| \le T \\\\ 0, & |t| > T \end{cases}$$

$$W_1(f) = \frac{\sin 2\pi f T}{\pi f}$$

2.2 三角形（Bartlett）时窗

$$w_2(t) = \begin{cases} 1 - \dfrac{|t|}{T}, & |t| \le T \\\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

$$W_2(f) = T \left( \frac{\sin \pi f T}{\pi f T} \right)^2$$

2.3 钟形（Gauss）时窗

$$w_3(t) = \begin{cases} \exp\!\left[-\alpha\left(\dfrac{t}{T}\right)^2\right], & |t| \le T \\\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

$$W_3(f) \approx \frac{\sqrt{\pi} T^2}{\alpha} e^{-\frac{\pi^2 T^4 f^2}{\alpha}}$$

2.4 哈宁（Hanning）时窗

$$w_4(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\left(1 + \cos \dfrac{\pi t}{T}\right), & |t| \le T \\\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

$$W_4(f) = \frac{1}{2}W_1(f) + \frac{1}{4}\left[W_1\!\left(f - \frac{1}{2T}\right) + W_1\!\left(f + \frac{1}{2T}\right)\right] = \frac{\sin 2\pi f T}{2\pi f} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2\pi f T}{1 - (2Tf)^2}$$

2.5 汉明（Hamming）时窗

$$w_5(t) = \begin{cases} 0.54 + 0.46 \cos \dfrac{\pi t}{T}, & |t| \le T \\\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

$$\begin{aligned} W_5(f) &= 0.54W_1(f) + 0.23\!\left[W_1\!\left(f - \frac{1}{2T}\right) + W_1\!\left(f + \frac{1}{2T}\right)\right]\\\\ &= \frac{\sin 2\pi f T}{\pi f} \left[ 0.54 - \frac{0.08 \cos 2\pi f T}{1 - (2Tf)^2} \right] \end{aligned}$$

2.6 帕曾（Parzen）时窗

$$w_6(t) = \begin{cases} 1 - 6\left(\dfrac{t}{T}\right)^2 + 6\left|\dfrac{t}{T}\right|^3, & |t| \le \dfrac{T}{2} \\\\ 2\left(1 - \dfrac{|t|}{T}\right)^3, & \dfrac{T}{2} < |t| \le T \\\\ 0, & |t| > T \end{cases}$$

$$W_6(f) = \frac{3}{4} \left( \frac{\sin(\pi f T / 2)}{\pi f T / 2} \right)^4$$

2.7 截尾丹尼尔（Truncated Daniell）时窗

$$w_7(t) = \begin{cases} \dfrac{\sin (\pi t / T)}{\pi t / T}, & |t| \le T \\\\ 0, & |t| > T \end{cases}$$

$$W_7(f) = W_1(f) \ast U(f),\quad \text{其中} \quad U(f) = \begin{cases} T, & |f| \le \dfrac{1}{2T} \\\\ 0, & |f| > \dfrac{1}{2T} \end{cases}$$

2.8 布拉克曼（Blackman）时窗

$$w_8(t) = \begin{cases} 0.42 + 0.5 \cos \dfrac{\pi t}{T} + 0.08 \cos \dfrac{2\pi t}{T}, & |t| \le T \\\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

$$\begin{aligned} W_8(f) =\ &0.42W_1(f) + 0.25\!\left[W_1\!\left(f - \frac{1}{2T}\right) + W_1\!\left(f + \frac{1}{2T}\right)\right] \\\\ &+ 0.04\!\left[W_1\!\left(f - \frac{1}{T}\right) + W_1\!\left(f + \frac{1}{T}\right)\right] \end{aligned}$$

2.9 凯苏（Kaiser）时窗

$$w_9(t) = \begin{cases} \dfrac{I_0\!\left(\beta \sqrt{1 - (t/T)^2}\right)}{I_0(\beta)}, & |t| \le T \\\\ 0, & |t| > T \end{cases}$$

其中$I_0$为修正的第一类零阶贝塞尔函数，$\beta$为形状参数。

$$W_9(f) = \begin{cases} \dfrac{2T \sin \sqrt{(2\pi f T)^2 - \beta^2}}{I_0(\beta) \sqrt{(2\pi f T)^2 - \beta^2}}, & 2\pi |f| T > \beta \\\\ \dfrac{2T \sinh \sqrt{\beta^2 - (2\pi f T)^2}}{I_0(\beta) \sqrt{\beta^2 - (2\pi f T)^2}}, & 2\pi |f| T < \beta \end{cases}$$

时窗函数	旁瓣峰值 (dB)	过渡带宽度 $c$	阻带衰减 (dB)
矩形	–13	$0.9/N$	–21
三角形	–25	$2.1/N$	–25
哈宁	–31	$3.1/N$	–44
汉明	–41	$3.3/N$	–53
布拉克曼	–57	$5.5/N$	–74

Note

设计时窗函数步骤：

0. 已知滤波器所需技术指标。
1. 由 $\delta_s$ 查表选取窗类型。
2. 由过渡带宽 $\Delta \omega = \omega_s - \omega_p$ 和 $c = \frac{\Delta \omega}{2\pi}$ 确定 $N$。
3. 取理想滤波器截频为过渡带中点。
4. 考虑物理可实现取 $N/2$ 保证因果性；
5. 构造 $h(n) = h_{\text{ideal}}(n) \cdot w(n)$。

3. 最佳时窗函数

3.1 最大振幅比时窗（切比雪夫窗）

设离散时窗 $h_n = h_{-n}$，则频谱 $H(f) = \sum_{n=-N}^N h_n \cos 2\pi n \Delta f$。给定 $0 < \delta < \frac{1}{2\Delta}$，要求 $(-\delta,\delta)$ 是时窗函数频谱的主瓣范围。

使振幅比

$$Q(h) = \frac{H(0)}{\max_{\delta \le |f| \le \frac{1}{2\Delta}} |H(f)|}$$

达最大的时窗函数 $w_n$ 称为最大振幅比时窗函数，其频谱对应切比雪夫多项式：

$$P_N(x) = \cos \left[ N \arccos \left( \frac{2x - a - 1}{a - 1} \right) \right]$$

$$x = \cos 2\pi \Delta f, \quad a = \cos 2\pi \delta \Delta < 1$$

3.2 最大能量比时窗

给定 $0 < \delta < \frac{1}{2\Delta}$，希望 $H(f)$ 的能量集中在区间 $(-\delta,\delta)$ 内。

定义使能量比

$$Q(h) = \frac{\int_{-\delta}^\delta |H(f)|^2 \, df}{\int_{-\frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}} |H(f)|^2 \, df}$$

达最大的时窗函数 $h_n$ 为最大能量比时窗函数，对应如下特征值问题最大特征根 $Q(h)$ 的特征向量。

$$\sum_{n=-N}^N \frac{\sin 2\pi (n - k) \delta \Delta}{\pi (n - k) \Delta} h_n = Q(h) \cdot h_k, \quad k = -N, \dots, N$$

§3 广义线性相位滤波器，有限长脉冲响应滤波器设计的其他方法

1. 广义线性相位有限长脉冲响应滤波器

设有限长物理可实现滤波器：

$$h(n) = \begin{cases} h(n), & 0 \le n \le M \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

类型	对称性	$M$ 奇偶性	频谱 $H(e^{-i\omega})$	特点
Ⅰ类	$h(n) = h(M-n)$	偶	$e^{-i\omega M/2} \sum_{k=0}^{M/2} a(k) \cos k\omega$	广义线性相位，$\phi(\omega) = -\omega M/2$
Ⅱ类	$h(n) = h(M-n)$	奇	$e^{-i\omega M/2} \sum_{k=1}^{(M+1)/2} b(k) \cos[(k - \frac{1}{2})\omega]$	广义线性相位，$\omega = \pi$ 处必为零
Ⅲ类	$h(n) = -h(M-n)$	偶	$ie^{-i\omega M/2} \sum_{k=1}^{M/2} c(k) \sin k\omega$	广义线性相位，$\omega = 0, \pi$ 处必为零
Ⅳ类	$h(n) = -h(M-n)$	奇	$ie^{-i\omega M/2} \sum_{k=1}^{(M+1)/2} d(k) \sin[(k - \frac{1}{2})\omega]$	广义线性相位，$\omega = 0$ 处必为零

Note

线性相位滤波器：$A(e^{-i\omega})=|H(e^{-i\omega})|$，$\phi(\omega) = -i\alpha \omega$。

广义线性相位滤波器：$A(e^{-i\omega})$ 可取负值，$\phi(\omega) = -i(\alpha \omega + \beta)$。

非线性相位滤波器是信号波形产生畸变，因此在设计滤波器时，希望其具有线性相位，或者广义线性相位。

2. 频率抽样法

设理想滤波器频谱为 $H(e^{-j\omega})$，取 $N$ 点频率 $\omega_k = \frac{2\pi k}{N}$，$k = 0,1,\dots,N-1$，则根据有限离散傅氏变换，近似 FIR 滤波器为：

$$h_N(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} H(e^{-i\omega_k}) e^{i\omega_k n}, \quad 0 \le n \le N-1$$

且与原脉冲响应有如下关系：

$$h_N(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(n + kN), \quad 0 \le n \le N-1$$

Note

优化方法：

• 将主能量部分时移至 $[0, N-1]$。
• 对频谱镶边使之光滑。

3. 误差最大最小优化法（切比雪夫逼近）

以低通滤波为例，定义加权误差：

$$E(e^{-i\omega}) = W(e^{-i\omega}) \left[ H_L(e^{-i\omega}) - A(e^{-i\omega}) \right]$$

其中

$$W(e^{-i\omega}) = \begin{cases} \dfrac{\delta_s}{\delta_p}, & 0 \le \omega \le \omega_p \\\\ 1, & \omega_s \le \omega \le \pi \end{cases}, \quad H_L(e^{-i\omega}) = \begin{cases} 1, & 0 \le \omega \le \omega_p \\\\ 0, & \omega_s \le \omega \le \pi \end{cases}$$

为设计Ⅰ类广义线性 FIR 滤波器，希望

$$A(e^{-i\omega})=\sum_{k=0}^{M/2} a(k) \cos k\omega \approx H_L(e^{-i\omega})$$

系数 $a(k)$ 需要使得频率域 $F$ 上误差 $E(e^{-i\omega})$ 的最大绝对值最小。

$$\min_{a(k)} \left( \max_{\omega \in F} |E(e^{-i\omega})| \right), \quad F = [0, \omega_p] \cup [\omega_s, \pi]$$

该问题即切比雪夫最佳逼近问题，其数值解法为 Parks-McClellan 算法。

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