包络： $e(t) = |q(t)| = \sqrt{x^2(t) + \tilde{x}^2(t)}$
瞬时相位： $\theta(t) = \arg q(t) = \arctan\frac{\tilde{x}(t)}{x(t)}$
瞬时频率： $\mu(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\arctan\frac{\tilde{x}(t)}{x(t)}$

Note

也可以用 $q(t)$ 表示：

$e(t) = |q(t)|$
$\theta(t) = Im\ln q(t)$
$\mu(t) = Im \dfrac{d\ln q(t)}{dt}= Im \dfrac{1}{q(t)}\dfrac{dq(t)}{dt}\approx Im \dfrac{2}{\Delta t}\dfrac{q(t)-q(t-\Delta t)}{q(t)+q(t-\Delta t)}$

对实离散信号 $x(n\Delta)$ ，其希尔伯特变换 $\tilde{x}(n\Delta)$ 为：

\tilde{x}(n\Delta) = \Delta h(n\Delta)*x(n\Delta)= \Delta\sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k\Delta) x((n-k)\Delta)

x(n\Delta) = -\Delta h(n\Delta)*\tilde{x}(n\Delta)

其中 $h(k\Delta)$ 为离散希尔伯特滤波因子：

h(k\Delta) = \begin{cases} 0, & k = 0 \\\\ \dfrac{1 - (-1)^k}{\Delta k\pi}, & k \ne 0 \end{cases}

H_{\Delta}(f) = \begin{cases} -i,& 0<f\le 1/(2\Delta)\\ i,& -1/(2\Delta)\le f<0 \end{cases}

对应的复信号、包络、瞬时相位和瞬时频率定义类似连续情况。

§4 物理可实现信号的希尔伯特变换

信号 $x(t)$ 称为物理可实现信号，若 $x(t) = 0$ 当 $t < 0$ 。类似地，离散信号 $x(n)$ 称为物理可实现信号，若 $x(n) = 0$ 当 $n < 0$ 。

设 $x(n)$ 为物理可实现信号，其频谱为 $X(e^{-i\omega})$ ，记实部和虚部分别为 $\operatorname{Re}X(e^{-i\omega})$ 和 $\operatorname{Im}X(e^{-i\omega})$ 。定义：

\alpha(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{Re}X(e^{-i\omega}) e^{i n \omega} d\omega, \quad \beta(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{Im}X(e^{-i\omega}) e^{i n \omega} d\omega

则有如下关系：

x(n)=\alpha(n)+i\beta(n),\quad -\infty<n<+\infty

\overline{\alpha(n)}=\alpha(-n),\quad\overline{\beta(n)}=\beta(-n),\quad -\infty<n<+\infty

$\alpha(n)$ 与 $\beta(n)$ 的希尔伯特变换

\alpha(n)= \begin{cases} i\beta(n),&n>0\\ -i\beta(n),&n<0 \end{cases} \quad \beta(n)= \begin{cases} -i\alpha(n),&n>0\\ i\alpha(n),&n<0 \end{cases}

或者表示为

\begin{cases} \alpha(n) = h(n)\beta(n) + \alpha(0) \delta(n)\\ \beta(n) = -h(n)\alpha(n) + \beta(0) \delta(n) \end{cases}

其中 $h(n)$ 为：

h(n) = \begin{cases} i, & n > 0 \\ 0, & n = 0 \\ -i, & n < 0 \end{cases}

$\alpha(n)$ 与 $x(n)$ 的希尔伯特变换

x(n)= \begin{cases} 2\alpha(n),&n>0\\ 0,&n<0 \end{cases}

或者表示为

x(n) = 2u(n) \alpha(n) + [x(0) - 2\alpha(0)] \delta(n)

其中 $u(n)$ 为单位阶跃信号：

u(n) = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}

$\beta(n)$ 与 $x(n)$ 的希尔伯特变换

x(n)= \begin{cases} 2i\beta(n),&n>0\\ 0,&n<0 \end{cases}

或者表示为

x(n) = 2iu(n) \beta(n) + [x(0) - 2i\beta(0)] \delta(n)

设物理可实现实信号 $x(n)$ ，其频谱满足：

\overline{X(e^{-i\omega})}=X(e^{i\omega})

同时由 $x(n)=2\alpha(n)=2i\beta(n),n>0$ 可知 $\alpha(n),n>0$ 为实数， $\beta(n),n>0$ 为纯虚数，并且

\alpha(-n)=\alpha(n),\quad \beta(-n)=-\beta(n)

进一步由 $\alpha(n)$ ， $\beta(n)$ 与 $x(n)$ 的希尔伯特变换可得

\alpha(n)=\frac{1}{2}[x(n)+x(-n)]

i\beta(n)=\frac{1}{2}[x(n)-x(-n)]

已知离散单位阶跃信号的频谱

U(e^{-i\omega})=\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-in\omega}=\pi \delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-i\omega}}=\pi \delta(\omega)+\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\cot \frac{\omega}{2}

Note

上式证明较为复杂，请读者自行查阅。

对 $\alpha(n)$ ， $\beta(n)$ 与 $x(n)$ 的希尔伯特变换式两边取频谱得离散希尔伯特变换关系式：

\operatorname{Re}X(e^{-i\omega}) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{Im}X(e^{-i\theta}) \cot\left(\frac{\omega - \theta}{2}\right) d\theta + \operatorname{Re}x(0)

\operatorname{Im}X(e^{-i\omega}) = -\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{Re}X(e^{-i\theta}) \cot\left(\frac{\omega - \theta}{2}\right) d\theta + \operatorname{Im}x(0)

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