Note

随机信号是实际中广泛存在的一类信号，其数学本质是一族依赖时间指标的随机变量。本章从定义出发，讨论其概率描述、特征函数、功率谱、遍历性；再重点研究平稳信号与线性随机信号（ARMA模型），为后续随机信号处理（如维纳滤波、谱估计等）奠定理论基础。

§1 随机信号

1.1 定义

设 $T$ 是一个指标集（如 $\mathbb{R}, \mathbb{Z}, \mathbb{Z}^2$），若对任意 $t \in T$，$X(t)$ 是一个随机变量，则称 $X(t)$ 为定义在 $T$ 上的随机信号（或随机过程、随机场）。

常见类型：

• 连续时间随机信号：$T = \mathbb{R}$
• 离散时间随机信号（时间序列）：$T = \mathbb{Z}$
• 二维离散随机场（如图像）：$T = \mathbb{Z}^2$ 或 $T = \mathbb{Z}_M \times \mathbb{Z}_N$

1.2 随机信号的概率分布

对任意 $n \ge 1$、$t_1, \dots, t_n \in T$、实数 $x_1, \dots, x_n$，联合分布函数定义为：

$$P\left(X(t_1) \le x_1,\, \dots,\, X(t_n) \le x_n\right) = F(x_1, t_1; \dots; x_n, t_n)$$

称为 $X(t)$ 的有限维分布族，它完全刻画了随机信号的统计性质。

由于完整分布难以获得，常通过特征数描述随机信号：

• $k$ 阶原点矩：$\mathbb{E}[X^k(t)]$
• $k$ 阶中心矩：$\mathbb{E}\big[(X(t) - \mathbb{E}X(t))^k\big]$
• 自相关函数：$r_{XX}(t, s) = \mathbb{E}[X(t) X(s)]$

1.3 几类重要随机信号

严平稳随机信号

若指标集 $T$ 对加减封闭（如 $\mathbb{Z}$），且对任意 $t, t_1, \dots, t_n \in T$，有：

$$\big(X(t_1), \dots, X(t_n)\big) \overset{d}{=} \big(X(t_1 + t), \dots, X(t_n + t)\big)$$

即任意有限维分布不随时间平移而改变，则称 $X(t)$ 为严平稳（strict-sense stationary, SSS）。

宽平稳随机信号

若对任意 $t, s \in T$，满足：

$$\begin{cases} \mathbb{E}[X(t)] = m_X = \text{常数}, \\ \mathbb{E}[X(t) X(s)] = r_{XX}(t - s) = r_{XX}(\tau), \quad \tau = t - s \end{cases}$$

则称 $X(t)$ 为宽平稳（wide-sense stationary, WSS）。

Note

严平稳 $\Rightarrow$ 宽平稳（若二阶矩存在），反之一般不成立。

离散白噪声信号

若 $X(t),\, t \in \mathbb{Z}$ 满足：

$$\mathbb{E}[X(t)] = 0,\quad \mathbb{E}[X(t) X(s)] = \sigma^2 \delta(t - s)$$

其中 $\delta$ 为离散 $\delta$ 函数，则称 $X(t)$ 为离散白噪声。

1.4 随机信号的能量与功率谱

• 瞬时功率：$\mathbb{E}[X^2(t)]$
• 平均功率（离散情形）：

  $$P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} \mathbb{E}[X^2(n)]$$

• 功率谱（离散情形）：

  $$G_{XX}(\omega) = \lim_{N \to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{1}{2N+1} \left| \sum_{n=-N}^{N} X(n) e^{-i n \omega} \right|^2 \right]$$

对宽平稳信号，可进一步简化（见 §2）。

1.5 随机信号的遍历性

若对任意函数 $V(\cdot)$（如 $V(x) = x, x^2$ 等），满足：

$$\mathbb{E}[V(X(t))] = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{k=-N}^{N} V\big(X(t+k)\big)$$

则称 $X(t)$ 具有遍历性（ergodicity），即集合平均 = 时间平均。

意义：只需单次观测即可估计统计特征（如均值、自相关），是工程实践的重要基础。

§2 平稳信号和线性随机信号

Note

本节聚焦离散宽平稳信号（即平稳时间序列），并引入最重要的线性随机信号模型——ARMA 模型。

2.1 平稳信号

设实离散随机信号 $X(t),\, t \in \mathbb{Z}$，若满足：

$$\mathbb{E}[X(t)] = m_X,\quad \mathbb{E}[X(t) X(s)] = r_{XX}(t - s)$$

则称 $X(t)$ 为平稳信号。

• 自相关函数：$r_{XX}(n) = \mathbb{E}[X(t + n) X(t)]$
• 自协方差函数：$c_{XX}(n) = \mathbb{E}\big[(X(t + n) - m_X)(X(t) - m_X)\big]$
  • 显然 $c_{XX}(n) = r_{XX}(n) - m_X^2$

对两个平稳信号 $X(t), Y(t)$：

• 互相关函数：$r_{XY}(n) = \mathbb{E}[X(t + n) Y(t)]$
• 互协方差函数：$c_{XY}(n) = r_{XY}(n) - m_X m_Y$

2.2 平稳信号的平均功率和功率谱

• 平均功率：

  $$P = r_{XX}(0)$$

• 功率谱（Wiener–Khinchin 定理）：若 $\sum_{n = -\infty}^{\infty} |r_{XX}(n)| < \infty$，则功率谱存在且为：

  $$G_{XX}(\omega) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} r_{XX}(n) e^{-i n \omega}, \quad \omega \in [-\pi, \pi]$$

  且有：

  $$r_{XX}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} G_{XX}(\omega) e^{i n \omega} \, d\omega$$

• 功率谱性质：

  $$G_{XX}(\omega) \ge 0$$

  对互功率谱 $G_{XY}(\omega) = \sum_n r_{XY}(n) e^{-i n \omega}$，无非负性要求。

2.3 平稳信号的滤波

设滤波器脉冲响应为 $h(t)$（实、能量有限），频谱为 $H(\omega) = \sum_t h(t) e^{-i t \omega}$。

对平稳输入 $X(t)$，输出 $Y(t) = h * X(t)$ 仍为平稳信号，且：

• 均值：

  $$m_Y = m_X \sum_{t} h(t)$$

• 自相关：

  $$r_{YY}(n) = r_{hh}(n) * r_{XX}(n)$$

  其中 $r_{hh}(n) = h(n) * h(-n)$ 为滤波器自相关。

• 功率谱：

  $$G_{YY}(\omega) = |H(\omega)|^2 \cdot G_{XX}(\omega)$$

  即输出功率谱 = 滤波器增益平方 × 输入功率谱。

2.4 平稳信号自相关函数的性质

1. $r_{XX}(0) \ge 0$；等号成立 $\Leftrightarrow X(t) \equiv 0$

2. $r_{XX}(n) = r_{XX}(-n)$（偶函数）

3. $|r_{XX}(n)| \le r_{XX}(0)$

4. 正定性：对任意 $N$，矩阵

   $$R_N = \begin{bmatrix} r_{XX}(0) & r_{XX}(1) & \cdots & r_{XX}(N-1) \\ r_{XX}(1) & r_{XX}(0) & \cdots & r_{XX}(N-2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{XX}(N-1) & r_{XX}(N-2) & \cdots & r_{XX}(0) \end{bmatrix}$$

   为正定矩阵（当 $r_{XX}(0) > 0$）

5. 表示性定理（Herglotz 定理）：

   存在有界非降函数 $F(\omega)$，使

   $$r_{XX}(n) = \int_{-\pi}^{\pi} e^{i n \omega} \, dF(\omega)$$

   若 $F$ 绝对连续，即 $dF(\omega) = \frac{1}{2\pi} G_{XX}(\omega) d\omega$，则 $G_{XX}$ 为其谱密度（即功率谱）。

2.5 线性随机信号

设 $U(t)$ 为离散白噪声驱动（$\mathbb{E}U(t) = 0$, $\mathbb{E}U(t)U(s) = \sigma^2 \delta(t - s)$），$h(t)$ 为稳定滤波器（$\sum |h(t)|^2 < \infty$），则输出：

$$X(t) = h * U(t) = \sum_n h(n) U(t - n)$$

称为线性随机信号。其统计特性为：

• $\mathbb{E}X(t) = 0$
• $r_{XX}(n) = \sigma^2 r_{hh}(n)$
• $G_{XX}(\omega) = \sigma^2 |H(\omega)|^2$

ARMA 模型

若 $h(t)$ 的 Z 变换为有理函数：

$$H(Z) = \frac{B(Z)}{A(Z)} = \frac{b_0 + b_1 Z + \cdots + b_q Z^q}{1 + a_1 Z + \cdots + a_p Z^p}$$

且 $A(e^{-i\omega}) \ne 0$（稳定性），则称 $X(t)$ 服从 ARMA(p, q) 模型：

$$X(t) = \sum_{l=0}^{q} b_l U(t - l) - \sum_{k=1}^{p} a_k X(t - k)$$

特例：

• $q = 0$：AR(p)（自回归）
• $p = 0$：MA(q)（滑动平均）

ARMA 信号的自相关函数与谱

• Z 变换：

  $$R_{XX}(Z) = \sigma^2 \frac{B(Z) B(Z^{-1})}{A(Z) A(Z^{-1})}$$

• 功率谱：

  $$G_{XX}(\omega) = \sigma^2 \left| \frac{B(e^{-i\omega})}{A(e^{-i\omega})} \right|^2$$

可通过分式分解求 $r_{XX}(n)$（见第四章相关方法）。

Note

ARMA 参数估计方法依赖于 $H(Z)$ 是否最小相位（见第九章），非最小相位情形需借助高阶统计量。

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