第二章：离散信号与抽样定理

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2026-01-29

Note

本章系统讨论连续信号离散化过程中的核心问题——抽样（或称采样），给出不同情形下的抽样定理，阐明假频（混叠）现象的成因与防范，并对实际中常见的重抽样问题给出理论指导。抽样定理是数字信号处理的基石，架起了连续与离散信号之间的桥梁。

§1 连续信号的离散化，带限信号与奈奎斯特频率

1. 连续信号的离散化

设连续时间信号为 $x(t)$ ， $t \in \mathbb{R}$ 。以固定时间间隔 $\Delta$ （称为抽样间隔）对其进行采样，得到离散信号（或时间序列）

x(n\Delta), \quad n = 0, \pm1, \pm2, \dots

离散信号是连续信号的局部信息，一般无法唯一恢复 $x(t)$ 。但在一定条件下（如信号带限且抽样足够密），可精确重建原信号。

2. 带限信号的抽样定理

设 $x(t)$ 的频谱为 $X(f)$ ，若存在实数 $f_0$ 与 $L > 0$ ，使得

X(f) = 0, \quad f \le f_0 \cup f \ge f_0 + L

则称 $x(t)$ 为带限信号。

带限信号抽样定理

设 $x(t)$ 为上述带限信号，则取抽样间隔 $\Delta = 1/L$ ，由离散值 $x(n\Delta)$ 可唯一恢复频谱 $X(f)$ 与信号 $x(t)$ ，其表达式为

X(f) = \Delta \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(n\Delta) e^{-i2\pi n \Delta f}, \quad f \in [f_0,\, f_0 + L]

x(t) = \Delta \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(n\Delta) \cdot \frac{\sin\left[2\pi (t - n\Delta)L/2\right]}{\pi (t - n\Delta)}

3. 实信号的奈奎斯特频率和抽样定理

对实值连续信号 $x(t)$ ，其频谱满足共轭对称性：

X(-f) = \overline{X(f)}

因此，若 $x(t)$ 有截频 $f_c$ ，即

X(f) = 0, \quad |f| \ge f_c

则称 $x(t)$ 为低通带限信号（或简称为带限实信号）。

抽样定理1（奈奎斯特–香农抽样定理）

设 $x(t)$ 有截频 $f_c$ ，取抽样间隔 $\Delta$ 满足

\frac{1}{2\Delta} \ge f_c

则由离散信号 $x(n\Delta)$ 可完全恢复：

频谱： $X(f) = \Delta \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(n\Delta) e^{-i2\pi n \Delta f}, \quad |f| < \frac{1}{2\Delta}$
信号： $x(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(n\Delta) \cdot \frac{\sin\left[\pi (t - n\Delta)/\Delta\right]}{\pi (t - n\Delta)/\Delta}$

Note

频率 $f_c = 1/(2\Delta)$ 称为奈奎斯特频率（Nyquist frequency），它是抽样间隔 $\Delta$ 所能无失真表示的最高频率。

§2 离散信号的频谱和抽样定理

1. 离散信号的频谱

对任意离散信号 $x(n\Delta)$ ，定义其频谱为：

X_\Delta(f) = \Delta \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(n\Delta) e^{-i2\pi n \Delta f}

性质：

$X_\Delta(f)$ 是周期为 $1/\Delta$ 的函数
逆变换为： $x(n\Delta) = \int_{-1/(2\Delta)}^{1/(2\Delta)} X_\Delta(f) e^{i2\pi n \Delta f}\, df.$

2. 抽样定理 2

设连续信号 $x(t)$ 频谱为 $X(f)$ ，其离散化 $x(n\Delta)$ 的频谱为 $X_\Delta(f)$ ，则二者满足

X_\Delta(f) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} X\left(f + \frac{m}{\Delta}\right)

Note

物理意义：离散信号频谱是连续频谱以 $1/\Delta$ 为周期的周期延拓叠加。

当 $X(f)$ 支撑集宽度大于 $1/\Delta$ 时，相邻周期发生重叠，导致混叠（aliasing）——高频成分“折叠”至低频，造成失真。

3. 重抽样定理

设以 $\Delta$ 抽样得到 $x(n\Delta)$ ，现以更大间隔 $\Delta_1 = m\Delta$ （ $m$ 为正整数）进行重抽样（decimation，降采样），得 $x(n\Delta_1) = x(nm\Delta)$ 。

重抽样定理1（基于连续模型）

设 $X_\Delta(f)$ 为 $x(n\Delta)$ 的频谱，构造连续频谱：

X(f) = \begin{cases} X_\Delta(f), & |f| < \frac{1}{2\Delta} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

则重抽样后信号 $x(n\Delta_1)$ 的频谱 $X_{\Delta_1}(f)$ 为

X_{\Delta_1}(f) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} X\left( f + \frac{k}{\Delta_1} \right)

重抽样定理2（直接离散形式）

设 $X_\Delta(f)$ 为 $x(n\Delta)$ 的频谱， $\Delta_1 = m\Delta$ ，则：

X_{\Delta_1}(f) = \frac{1}{m} \sum_{l = 0}^{m-1} X_\Delta\left( \frac{f + l/\Delta_1}{m} \right)

Note

重抽样前若 $X_\Delta(f)$ 在 $|f| > 1/(2\Delta_1)$ 处非零，则 $X_{\Delta_1}(f)$ 将混叠——即重抽样引入新假频。

§3 由离散信号恢复连续信号的问题

1. 由离散信号恢复连续信号的方法

设离散信号 $x(n\Delta)$ 与插值核 $g(t)$ 构造连续信号：

x(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(n\Delta)\, g(t - n\Delta)

其频谱为：

X(f) = \frac{1}{\Delta}X_\Delta(f)\,G(f)

若要求连续信号 $x(t)$ 在 $t=n\Delta$ 处的取值等于 $x(n\Delta)$ ，其充分必要条件为

g(n\Delta) = \delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}

2. 两个例子

例1：理想插值（抽样定理实现）

取

g(t) = \frac{\sin(\pi t / \Delta)}{\pi t / \Delta}

其频谱为

G(f) = \begin{cases} \Delta, & |f| < \frac{1}{2\Delta} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

此时 $x(t)$ 正是抽样定理 1 中重建的信号。

例2：线性插值（折线连接）

取三角波

g(t) = \begin{cases} 1 - |t|/\Delta, & |t| \le \Delta \\ 0, & |t| > \Delta \end{cases}

对应频谱为

G(f) = \Delta \cdot \left( \frac{\sin(\pi \Delta f)}{\pi \Delta f} \right)^2

恢复信号为折线连接各抽样点。

§4 抽样与假频，抽样或重抽样的注意事项

1. 抽样与假频

抽样后，连续信号中高于奈奎斯特频率 $f_c = 1/(2\Delta)$ 的成分，会“折叠”进入 $[-f_c,\, f_c]$ 频段，与真实低频成分叠加，造成频谱失真。

Note

防范措施：抽样前用抗混叠滤波器（低通，截止 $f_c$ ）滤除高频成分。

2. 抽样或重抽样的注意事项

对连续信号抽样

若信号特性未知，采用试探法，用递减 $\Delta$ （如 1ms, 0.5ms, 0.25ms）采样，比较各频谱在 $[-1/(2\Delta),\, 1/(2\Delta)]$ 内差异；若相近，可认为 $f_c \le 1/(2\Delta)$ 。
若已知有效信号频带 $[-f_c, f_c]$ ，选 $\Delta$ 使 $1/(2\Delta) \ge f_c$ ，并先低通滤波去假频，再抽样。

对离散信号重抽样

频带检查：确认有效信号频带 $\subseteq [-1/(2\Delta_1),\, 1/(2\Delta_1)]$
去假频：若原信号 $x(n\Delta)$ 存在 $|f| > 1/(2\Delta_1)$ 成分，须先用数字低通滤波器滤波
重抽样：间隔 $\Delta_1$ 抽取，得 $x(n\Delta_1)$

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