信号	$s(t)$	$S(f)$
方波	$\begin{cases}1,&\|t\|<\delta\\0,&\|t\|>\delta\end{cases}$	$\displaystyle \frac{\sin 2\pi \delta f}{\pi f}$
三角波	$\begin{cases}1 - \|t\|/\delta,&\|t\|<\delta\\0,&\|t\|>\delta\end{cases}$	$\displaystyle \frac{\sin^2 \pi \delta f}{(\pi f)^2\delta}$
钟形波	$e^{-\beta t^2}\ (\beta > 0)$	$\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\beta}} e^{-\pi^2 f^2 / \beta}$
半余弦波	$\begin{cases}\cos(\pi t / 2\delta),&\|t\|\le \delta\\0,&\|t\|> \delta\end{cases}$	$\displaystyle \frac{4 \delta \cos 2\pi \delta f}{\pi (1 - (4\delta f)^2)}$
单边指数衰减	$\begin{cases}e^{-\alpha t},&t>0\\0,&t<0\end{cases}\ (\alpha>0)$	$\displaystyle \frac{1}{\alpha + i2\pi f}$
双边指数衰减	$e^{-\alpha \|t\|}(\alpha > 0)$	$\displaystyle \frac{2\alpha^2}{\alpha(\alpha^2+(2\pi f)^2)}$

性质1（共轭性质）
若 $x(t)$ 的频谱为 $X(f)$ ，则 $\overline{x(t)}$ 的频谱为 $\overline{X(-f)}$ 。
特例：当 $x(t)$ 为实信号时， $X(-f) = \overline{X(f)}$ 。
性质2（时移定理）
若 $x(t)$ 的频谱为 $X(f)$ ，则 $x(t - t_0)$ 的频谱为 $X(f) e^{-i2\pi f t_0}$ 。
物理意义：时移不改变振幅谱，仅使相位谱增加线性项 $-2\pi f t_0$ 。
性质3（对称定理）
若 $x(t)$ 的频谱为 $X(f)$ ，则 $X(t)$ 的频谱为 $x(-f)$ 。
性质4（频移定理）
若 $x(t)$ 的频谱为 $X(f)$ ，则：
- $x(t) e^{i2\pi f_0 t}$ 的频谱为 $X(f - f_0)$ ；
- $x(t) \cos 2\pi f_0 t$ 的频谱为 $\dfrac{1}{2}\big[ X(f - f_0) + X(f + f_0) \big]$ ；
- $x(t) \sin 2\pi f_0 t$ 的频谱为 $\dfrac{1}{2i}\big[ X(f - f_0) - X(f + f_0) \big]$ 。
性质5（翻转定理）
若 $x(t)$ 的频谱为 $X(f)$ ，则 $x(-t)$ 的频谱为 $X(-f)$ 。
性质5'（时间展缩定理）
若 $x(t)$ 的频谱为 $X(f)$ ， $a \ne 0$ ，则 $x(at)$ 的频谱为 $\dfrac{1}{|a|} X\!\left(\dfrac{f}{a}\right)$ 。

§3 傅氏级数与傅氏积分，离散频谱与连续频谱

连续谱抽样定理

设信号 $x(t)$ 满足 $x(t) = 0$ 当 $t \notin [t_0, t_0 + T]$ （即有限长度信号），其连续频谱为 $X(f)$ 。则以间隔 $f_{\Delta} = 1/T$ 对 $X(f)$ 抽样所得离散值

X(nf_{\Delta }) = X\left( \frac{n}{T} \right),\quad n = 0, \pm1, \pm2, \dots

可完全恢复原信号 $x(t)$ （ $t \in [t_0, t_0 + T]$ ）及其连续频谱 $X(f)$ 。

Copyright