Note

本章核心：定义相关系数与相关函数；揭示相关与褶积的等价关系；讨论自相关与互相关的性质；引入循环相关及其与普通相关的联系；拓展至多道信号相关分析。

§1 相关的基本概念，相关与褶积的关系

1. 相关系数

设离散信号 $x_n$ 与 $y_n$，定义其在区间 $[N_1, N_2]$ 上的相关系数为：

$$\rho_{xy}(N_1, N_2) = \frac{\sum_{n=N_1}^{N_2} x_n y_n}{\sqrt{\sum_{n=N_1}^{N_2} x_n^2} \cdot \sqrt{\sum_{n=N_1}^{N_2} y_n^2}}$$

其物理意义：

• $|\rho_{xy}(N_1, N_2)| \approx 1$：两信号高度相似（线性相关）。
• $|\rho_{xy}(N_1, N_2)| \approx 0$：两信号不相似（正交或无关）。

对能量有限信号（$\sum |x_n|^2 < \infty$，$\sum |y_n|^2 < \infty$），定义无界相关系数为：

$$r_{xy} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n y_n$$

称 $r_{xy}$ 为未标准化的相关系数，仍反映相似性程度。

2. 相关函数

为考虑信号时移下的相似性，引入互相关函数：

$$r_{xy}(\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n y_{n-\tau}, \quad \tau \in \mathbb{Z}$$

• $\tau$：$y$ 相对于 $x$ 的延迟。
• 若 $|r_{xy}(\tau_0)| = \max_\tau |r_{xy}(\tau)|$，表明 $y_{n-\tau_0}$ 与 $x_n$ 最相似。
• 互相关不可交换，但满足：

$$r_{yx}(\tau) = r_{xy}(-\tau)$$

自相关函数：

$$r_{xx}(\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n x_{n-\tau}$$

3. 相关与褶积的关系

有实离散信号 $x_n, y_n$，则其互相关函数 $r_{xy}$ 与褶积满足：

$$r_{xy} = x_n * y_{-n}$$

设 $X(f), Y(f), R_{xy}(f)$ 分别为 $x_n, y_n, r_{xy}$ 的频谱，则：

$$R_{xy}(f) = X(f) \cdot \overline{Y(f)}$$

设 $X(Z), Y(Z), R_{xy}(Z)$ 为其 Z 变换，则：

$$R_{xy}(Z) = X(Z) \cdot Y\left(Z^{-1}\right)$$

§2 相关函数的性质

1. 自相关函数的性质

设能量有限实信号 $x_n$，其自相关函数 $r_{xx}(\tau)$ 具有如下性质：

• $|r_{xx}(\tau)| \le r_{xx}(0)$，最大值在 $\tau = 0$ 处。
• $r_{xx}(-\tau) = r_{xx}(\tau)$（偶函数）。
• $\lim_{|\tau| \to \infty} r_{xx}(\tau) = 0$ 。
• 自相关函数 $r_{xx}(\tau)$ 的波形只与信号的振幅谱有关（因 $R_{xx}(f) = |X(f)|^2$）。
• 自相关矩阵为正定陶布利兹矩阵：

$$\begin{bmatrix} r_{xx}(0) & r_{xx}(1) & \cdots & r_{xx}(N) \\ r_{xx}(1) & r_{xx}(0) & \cdots & r_{xx}(N-1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{xx}(N) & r_{xx}(N-1) & \cdots & r_{xx}(0) \end{bmatrix}$$

定理 1（自相关充要条件）

序列 $r(n)$ 为某能量有限信号的自相关函数的充分必要条件是其频谱 $R(f) \ge 0$ 。

即：$r(n) = r_{gg}(n)$ 当且仅当 $R(f) = |G(f)|^2 \ge 0$ 。

定理 2（单边自相关性质）

设 $r(n)$ 为自相关函数，$r(0) > 0$，定义单边自相关函数：

$$g(n) = \begin{cases} r(n), & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$

其 Z 变换为

$$G(Z) = \sum_{n=0}^{\infty} r(n) Z^{n}$$

则其在单位圆内无零点（即 $G(Z) \ne 0$，当 $|Z| < 1$），且其频谱实部满足：

$$\operatorname{Re} G(f) = \frac{1}{2} [R(f) + r(0)]$$

Note

推论：单边自相关函数 $g(n)$ 是最小相位信号。

2. 互相关函数的性质

能量有限实信号 $x_n, y_n$，其互相关函数 $r_{xy}(\tau)$ 满足：

• 对称性：$r_{yx}(\tau) = r_{xy}(-\tau)$ 。
• 不等式：

$$|r_{xy}(\tau)| \le \sqrt{r_{xx}(0) \cdot r_{yy}(0)}$$

• $\lim_{|\tau| \to \infty} r_{xy}(\tau) = 0$ 。
• 互相关函数仅包含 $x_n$ 与 $y_n$ 共有的频率成分（因 $R_{xy}(f) = X(f)\overline{Y(f)}$）。

§3 循环相关和普通相关

1. 有限离散傅氏变换的循环相关

设长度为 $N$ 的实信号：

$$x_n = (x_0, x_1, \dots, x_{N-1}),\quad y_n = (y_0, y_1, \dots, y_{N-1})$$

它们的有限离散频谱为 $X_m, Y_m$。定义循环互相关为：

$$r_{xy}^{(N)}(n) = x_n * y_{-n} \ [N] = \sum_{k=0}^{N-1} x_k y_{(k-n) \bmod N}$$

循环互相关 $r_{xy}^{(N)}(n)$ 与频谱关系为：

$$r_{xy}^{(N)}(n) \quad \overset{\text{FDFT}}{\longleftrightarrow} \quad X_m \cdot \overline{Y_m}$$

2. 循环相关与普通相关的关系

设原始信号为：

$$x_n = \begin{cases} x_n, & 0 \le n \le M-1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases},\quad y_n = \begin{cases} y_n, & 0 \le n \le L-1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

以 $N$ 为周期延拓得 $x_n^{(N)}, y_n^{(N)}$，定义其循环相关为 $r_{xy}^{(N)}(n)$。

循环相关定理

当 $0 \le n \le N - L$ 时，有：

$$r_{xy}(n) = r_{xy}^{(N)}(n)$$

特别地，若 $N \ge M + L - 1$，则对所有 $0 \le n \le N-1$，均有：

$$r_{xy}^{(N)}(n) = \begin{cases} r_{xy}(n), & 0 \le n \le N - L \\ r_{xy}(n - N), & N - L < n \le N-1 \end{cases}$$

3. 利用 FFT 计算相关函数

3.1 互相关计算

设实离散信号

$$x_n = \begin{cases} x_n, & 0 \le n \le M-1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \qquad y_n = \begin{cases} y_n, & 0 \le n \le L-1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

现需计算：

$$r_{xy}(n), \quad 0 \le n \le K$$

1. 选 $N = 2^k \ge L + K$
2. 构造周期延拓信号 $x_n^{(N)}, y_n^{(N)}$
3. 用 FFT 计算 $X_m, Y_m$
4. 计算 $R_m = X_m \cdot \overline{Y_m}$
5. 用 IFFT 得 $r_{xy}^{(N)}(n)$，取 $0 \le n \le N-L$ 即为 $r_{xy}(n)$

3.2 自相关计算

设 $x_n$ 为长度 $M$ 信号

$$x_n = \begin{cases} x_n, & 0 \le n \le M-1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

其自相关函数为

$$r_{xx}(n) = \begin{cases} \sum_{l=0}^{M-1} x_{l} x_{n+l}, & |n| \le M-1 \\ 0, & |n| > M-1 \end{cases}$$

由于 $r_{xx}(n) = r_{xx}(-n)$，只需计算 $0 \le n \le M-1$。

1. 取 $N = 2^k \ge 2M - 1$
2. 构造周期延拓信号 $x_n^{(N)}$
3. 用 FFT 计算 $X_m$
4. 计算 $R_m = |X_m|^2$
5. 用 IFFT 得 $r_{xx}^{(N)}(n)$，取 $0 \le n \le N-M$ 即为 $r_{xx}(n)$

3.3 分段求和法

当 $L$ 较大时，若按前述选 $N \ge L + K$，则 $N \approx L$ 过大，内存和硬件受限，此时可采用分段求和法。

$$K = 2^q \quad L = J \cdot K$$

1. 取 $N = 2K$

2. 定义 $J$ 段子信号（长度为 $N$）

   $$y^{(j)}_n = \begin{cases} y_{n + jK}, & 0 \le n < K \\ 0, & K \le n < 2K \end{cases}$$

   $$x^{(j)}_n = x_{n + jK},\quad 0 \le n < 2K$$

3. 对每段信号计算互相关

   • 计算 $X^{(j)}_m = \text{FFT}[x^{(j)}_n]$，$Y^{(j)}_m = \text{FFT}[y^{(j)}_n]$
   • $R^{(j)}_m = X^{(j)}_m \cdot \overline{Y^{(j)}_m}$
   • $r^{(j)}_n = \text{IFFT}[R^{(j)}_m],\quad 0 \le n < 2K$
   • 取前 $K$ 点：$r_{xy}^{(j)}(n) = r^{(j)}_{n}, \quad 0 \le n < K$

4. 累加得最终结果

   $$r_{xy}(n) = \sum_{j=0}^{J-1} r_{xy}^{(j)}(n), \quad 0 \le n < K$$

§4 多道相关

设 $M$ 道信号 $x_j(n),\ 1 \le j \le M,\ 1 \le n \le N$，定义其与标准信号 $\bar{x}(n)$ 的总误差能量为：

$$Q = \sum_{j=1}^{M} \sum_{n=1}^{N} [x_j(n) - \bar{x}(n)]^2$$

当 $\bar{x}(n)$ 使 $Q$ 最小（即 $\bar{x}(n) = \frac{1}{M} \sum_{j=1}^{M} x_j(n)$，算术平均）时，得：

$$Q = \sum_{j=1}^{M} \sum_{n=1}^{N} x_j^2(n) - M \sum_{n=1}^{N} \bar{x}^2(n)$$

定义以下多道相似性度量标准：

标准	表达式	物理意义
能量比标准 $E$	$E = \dfrac{M \sum_n \bar{x}^2(n)}{\sum_j \sum_n x_j^2(n)}$	平均信号能量占比
叠加能量标准 $D$	$D = M \sum_n \bar{x}^2(n) = \dfrac{1}{M} \sum_n \left(\sum_j x_j(n)\right)^2$	堆叠后能量大小
叠加振幅标准 $S$	$S = \dfrac{1}{M} \sum_n \left| \sum_j x_j(n) \right|$	堆叠振幅和
未标准化相关系数 $K$	$K = \sum_{i \ne j} \sum_n x_i(n) x_j(n) = \sum_n(\sum_j x_j(n))^2-\sum_j\sum_n x_j^2(n)$	两两互相关之和
标准化相关系数 $R$	$R = \dfrac{K}{(M-1) \sum_j \sum_n x_j^2(n)}$	归一化多道相似度
相对误差能量	$\dfrac{Q}{\sum_j\sum_n x_j^2(n)}=\dfrac{M-1}{M}(1-R)$	总误差能量与总能量之比

Note

$0 \le E \le 1$

$0 \le D \le \sum_j\sum_n x_j^2(n)$

$- \dfrac{1}{M-1} \le R \le 1$

$-\sum_j\sum_n x_j^2(n) \le K \le (M-1)\sum_j\sum_n x_j^2(n)$

$E = 1$ 或 $R = 1$ 等价于所有 $x_j(n)$ 波形完全相同，因此对多道信号预先进行规格化处理能更直接反映相似性。

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