Note

本章核心：研究能量有限的物理可实现信号的结构与性质；引入最小相位与最小能量延迟两个等价的核心概念；揭示其与全通滤波器、Z 变换零极点分布的内在联系。

§1 物理可实现信号

1. 定义

物理可实现信号（又称因果信号或单边信号）：满足

$$b_n = 0,\quad \text{当 } n < 0$$

的离散信号 $b_n$。

Note

物理意义：反映物理系统的因果律——系统在输入激励前无输出响应。

2. 物理可实现信号的性质

定理 1

设信号 $b_n$ 的能量是有限的

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |b_n|^2 = \Delta \int_{-1/(2\Delta)}^{1/(2\Delta)} |B(f)|^2 \, df < +\infty$$

则信号 $b_n$ 是物理可实现的充分必要条件是

$$b_n = \Delta \int_{-1/(2\Delta)}^{1/(2\Delta)} B(f) e^{i2\pi n\Delta f} \, df = 0, \quad \text{当 } n < 0 \text{ 时}$$

定理 2

设 $b_1(n)$，$b_2(n)$ 是两个物理可实现信号，则 $b_1(n) + b_2(n)$ 和 $b_1(n) * b_2(n)$ 也是物理可实现的，并且

$$b_1(n) * b_2(n) = \begin{cases} \sum_{\tau=0}^{n} b_1(\tau) b_2(n-\tau), & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$

3. Z 变换为有理分式时的物理可实现条件

定理 3

设信号 $h_n$ 的 Z 变换为

$$H(Z) = \frac{a_0 + a_1 Z + \cdots + a_n Z^n}{b_0 + b_1 Z + \cdots + b_m Z^m}$$

其中 $b_m \ne 0$，分子和分母没有公因子。则

• 信号 $h_n$ 为能量有限的充分必要条件是：$H(Z)$ 的分母多项式在单位圆上没有根。

• 信号 $h_n$ 为能量有限的，则 $h_n$ 为物理可实现的充分必要条件是：$H(Z)$ 的分母多项式的根全在单位圆外。

§2 能量有限的物理可实现信号、纯相位物理可实现信号和全通滤波器

1. 能量有限物理可实现信号的一般表示

若 $h_n$ 能量有限且物理可实现（即 $h_n = 0,\,n < 0$ 且 $\sum |h_n|^2 < \infty$），其 Z 变换可唯一表为：

$$H(Z) = G(Z)\cdot H_0(Z)$$

• $G(Z)$：纯相位（全通）部分。

$$G(Z) = e^{i\lambda} \cdot Z^m \cdot \prod_{k=1}^{+\infty}\frac{a_k - Z}{1 - \bar{a}_k Z}\cdot \frac{|a_k|}{a_k} \cdot \exp\!\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i\theta}+Z}{e^{i\theta}-Z}\, d\phi(\theta)\right]$$

其中 $\lambda$ 为一个实数，$m$ 为非负整数，$a_k$ 为复数序列。

$$|a_k|<1,\quad \sum_{k=0}^{+\infty}(1-|a_k|)<+\infty$$

$\phi(\theta)$ 为单调非增函数，具有几乎处处为 0 的微商。

• $H_0(Z)$：对应最小相位信号 $h_0(n)$ 的 Z 变换。

$$H_0(Z) = \exp\!\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \ln|H(\theta)| \frac{e^{i\theta}+Z}{e^{i\theta}-Z}\, d\theta\right]$$

Note

频谱形式（$Z = e^{-j\omega}$）：

$$H(e^{-j\omega}) = A(\omega)e^{j\phi(\omega)}$$

其中 $A(\omega) = |H(\omega)|$ 为振幅谱，$\phi(\omega)$ 为相位谱。

2. 纯相位物理可实现信号（全通滤波器）

纯相位信号：满足以下条件的物理可实现信号 $g_n$

$$\begin{cases} g_n = 0,\quad n<0 \\\\ |G(\omega)| = |\sum_{n=0}^{+\infty}g_ne^{-in\omega}|=1 \end{cases}$$

• 振幅全通性质:

  $$|Y(\omega)| = |G(\omega)X(\omega)| = |X(\omega)|$$

• 纯相位信号具有单位能量：

  $$\sum_{n=0}^{\infty} |g_n|^2 = 1$$

典型纯相位信号：

$$G(Z) = \frac{\alpha - Z}{1 - \bar{\alpha}Z}\cdot \frac{|\alpha|}{\alpha},\quad |\alpha| < 1$$

纯相位信号通式：

$$G(Z) = e^{i\lambda} \cdot Z^m \cdot \prod_{k=1}^{+\infty}\frac{a_k - Z}{1 - \bar{a}_k Z}\cdot \frac{|a_k|}{a_k} \cdot \exp\!\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i\theta}+Z}{e^{i\theta}-Z}\, d\phi(\theta)\right]$$

§3 相位延迟与群延迟的概念，最小相位信号

1. 延迟的定义

对滤波器 $H(f) = A(f)e^{j\phi(f)}$

• 相位延迟：

$$T_p(f) = -\frac{\phi(f)}{2\pi f}$$

• 群延迟：

$$T_g(f) = -\frac{1}{2\pi}\frac{d\phi(f)}{df}$$

2. 全通滤波器的群延迟性质

对纯相位 $G(e^{i\omega}) = e^{i\phi_g(\omega)}$，有：

$$\frac{d\phi_g(\omega)}{d\omega} \le 0 \quad \Rightarrow \quad T_g \ge 0$$

即：全通滤波器的群延迟恒非负。

3. 最小相位信号

定义：

能量有限物理可实现信号 $h_1(n)$ 称为最小相位信号，若对任一同振幅谱的物理可实现信号 $h(n)$，均有：

$$\frac{d\phi_{h_1}(\omega)}{d\omega} \ge \frac{d\phi_h(\omega)}{d\omega} \quad \Leftrightarrow \quad T_{g,h_1}(\omega) \le T_{g,h}(\omega)$$

即：群延迟最小。

定理 1

设 $h_1(n)$ 是能量有限的物理可实现信号，它的振幅谱为 $|H(\omega)|$，则 $h_1(n)$ 为最小相位信号的充分必要条件是

$$h_1(n) = e^{i\beta} h_0(n),$$

其中 $\beta$ 为实常数，$h_0(n)$ 是相应于 Z 变换 $H_0(Z)$ 的信号。

$$H_0(Z) = \exp\!\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \ln|H(\theta)| \frac{e^{i\theta}+Z}{e^{i\theta}-Z}\, d\theta\right]$$

§4 全通滤波器的能量延迟性质、最小延迟信号

1. 全通滤波器的能量延迟性质

定理 1

1. 设 $g_n$ 为全通滤波因子，则 $|g(0)| \leq 1$。特别地，当 $|g(0)| = 1$ 时，则有 $g(n) = 0 \ (n \ge 1)$。

2. 设 $G_j(Z) (1 \leq j \leq N)$ 为全通滤波器的 $Z$ 变换，若 $\prod_{j=1}^{N} G_j(Z) = e^{i\beta}$（$\beta$ 为实数），则 $G_j(Z) = e^{i\beta_j}$，其中 $\beta_j$ 为实数，并且

$$\sum_{j=1}^{N} \beta_j = \beta + 2k\pi, \quad k \in \Z$$

定理 2（总能量不变性质）

物理可实现滤波因子 $g_n$ 为全通滤波因子的充分必要条件是：任何信号经过 $g_n$ 滤波后总能量不变，即对任何输入信号 $x_n$，输出信号为

$$y_n = g_n * x_n = \sum_{k=0}^{\infty} g_k x_{n-k}$$

必有

$$\sum_{n=0}^{\infty} |x_n|^2 = \sum_{n=0}^{\infty} |y_n|^2$$

定理 3

对任何 $N+1$ 个数 $(x_0, x_1, \dots, x_N)$ 和全通滤波因子 $g_n$，有关系式

$$\sum_{n=0}^{N} |x_n|^2 = \sum_{n=0}^{+\infty} |\bar{y}_n|^2$$

其中

$$\bar{y}_n=\sum_{\tau=0}^{N}x_\tau g_{n-\tau}$$

Note

相当于把信号 $(x_0, x_1, \dots, x_N,0,0,\dots)$ 作为输入信号，输出信号为 $\bar{y}_n$。

当 $n \le N$ 时，

$$\bar{y}_n=\sum_{\tau=0}^{n}x_\tau g_{n-\tau}=y_n$$

定理 4（能量延迟性质）

设输入为物理可实现信号 $x_n$，滤波因子为全通滤波因子 $g_n$，输出为 $y_n$，则对一切 $N$（$N \ge 0$），有

$$\sum_{n=0}^{N} |x_n|^2 \ge \sum_{n=0}^{N} |y_n|^2$$

定理 5

在定理 4 的条件下，对某个 $N$，等式

$$\sum_{n=0}^{N} |x_n|^2 = \sum_{n=0}^{N} |y_n|^2$$

成立的充分必要条件是：全通滤波因子 $g_n$ 的 Z 变换为

$$G(Z) = \frac{y_0 + y_1 Z + \cdots + y_N Z^N}{x_0 + x_1 Z + \cdots + x_N Z^N}$$

且 $G(Z)$ 的分母多项式在单位圆内和单位圆上无零点（保证能量有限物理可实现）。

推论 1

在定理 4 的条件下，若 $x_N \neq 0$，

$$\sum_{n=0}^{N-1} |x_n|^2 = \sum_{n=0}^{N-1} |y_n|^2 \quad \sum_{n=0}^{N} |x_n|^2 = \sum_{n=0}^{N} |y_n|^2$$

同时成立的充分必要条件是：

$$G(Z) = e^{i\beta} , \quad \beta \in \mathbb{R}$$

推论 2

在定理 4 的条件下，若 $x_0 \neq 0$，则 $|x_0|^2 = |y_0|^2$ 成立的充分必要条件是 $G(Z) = e^{i\beta}$，其中 $\beta$ 为实数。

定理 6

设 $g_n$ 为物理可实现滤波因子，具有单位能量，即 $\sum_{n=0}^{\infty} |g_n|^2 = 1$。

则 $g_n$ 为全通滤波因子，即 $g_n$ 的频谱 $G(\omega)$ 满足 $|G(\omega)| = 1$ 的充分必要条件是：对任何能量有限物理可实现输入信号 $x_n$，经 $g_n$ 滤波后输出信号 $y_n = g_n * x_n$ 的部分能量被延迟了，即

$$\sum_{n=0}^{N} |x_n|^2 \ge \sum_{n=0}^{N} |y_n|^2, \quad N \ge 0$$

2. 最小能量延迟信号

定义：

能量有限物理可实现信号 $h_1(n)$ 称为最小能量延迟信号（简称最小延迟信号），若对任一同振幅谱的物理可实现信号 $h(n)$，均有：

$$\sum_{n=0}^N |h_1(n)|^2 \ge \sum_{n=0}^N |h(n)|^2,\quad \forall N \ge 0$$

Note

最小相位信号 = 最小能量延迟信号

前者从相位延迟角度，后者从能量集中性角度描述同一类信号。

定理 7

设 $h_1(n)$ 为最小延迟信号，$g_n$ 为全通滤波因子，$h(n)$ 为物理可实现信号，且 $h_1(n) = g_n * h(n)$（即 $H_1(Z) = G(Z) \cdot H(Z)$），则 $G(Z) = e^{i\beta}$（$\beta$ 为实数），$h(n)$ 也为最小延迟信号。

定理 8

设 $h_0(n)$ 是 Z 变换 $H_0(Z)$ 相应的信号，则振幅谱为 $|H(\omega)|$ 的物理可实现信号 $h_1(n)$ 是最小延迟信号的充分必要条件是

$$h_1(n) = e^{i\beta} h_0(n), \quad \beta \in \mathbb{R}$$

§5 Z 变换为多项式和有理分式时的最小相位性质

1. 多项式情形

定理 1

设有限长度信号 $x = (x_0, x_1, \dots, x_k)$，它的频谱为 $X(\omega) = \sum_{n=0}^{k} x_n e^{-i\omega n}$，则振幅谱为 $X(\omega)$ 的最小相位信号 $h_n$ 必满足

$$h_n = 0, \quad n > k$$

定理 2

$H(Z) = a_0 + a_1 Z + \cdots + a_n Z^n = a_n \prod_{j=1}^{n} (Z - \alpha_j)$（其中 $a_n \ne 0$）是最小相位信号的 Z 变换的充分必要条件是：多项式 $a_0 + a_1 Z + \cdots + a_n Z^n$ 在单位圆内没有根，即 $|\alpha_j| \ge 1$。

2. 有理分式情形

定理 3

能量有限物理可实现信号 $h(n)$ 的 Z 变换 $H(Z)$ 为有理分式

$$H(Z) = \frac{B(Z)}{A(Z)}$$

其中 $A(Z)$ 与 $B(Z)$ 为没有公因子的多项式，$A(0) = 1$。则 $h(n)$ 为最小相位信号的充分必要条件是：$B(Z)$ 在单位圆内无根，$A(Z)$ 在单位圆内及其上无根。

3. Z 变换为多项式时的信号分类

设 $x_n = (x_0, x_1, ..., x_k)$，Z 变换 $X(Z) = \sum_{n=0}^k x_n Z^n$，则：

信号类型	Z 变换零点分布
最小相位信号	单位圆内无根
最大相位信号	单位圆外无根，但至少在单位圆内有一个根
混合相位信号	单位圆内、外都有根

Note

最小相位：能量集中在前部

最大相位：能量集中在后部

混合相位：能量集中在中部

4. 多项式 Z 变换的分解

任何能量有限物理可实现信号 Z 变换总可以分解为全通滤波器 Z 变换与最小相位信号 Z 变换的乘积。

$$H(Z) = (Z - \alpha)(Z - \beta) = \frac{Z - \alpha}{\bar{\alpha}Z - 1}(\bar{\alpha}Z - 1)(Z - \beta) = G(Z)H_{\text{min}}(Z)$$

$$|\alpha| < 1,\quad |\beta| \ge 1$$

§6 最小相位信号和柯氏谱

1. 最小相位信号和柯氏谱

我们知道，最小相位信号完全由其振幅谱 $|H(\omega)|$ 确定：

$$H_0(Z) = \exp\!\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \ln|H(\theta)| \frac{e^{i\theta}+Z}{e^{i\theta}-Z}\, d\theta\right]$$

我们把最小相位信号的频谱取对数后，对应的那个物理可实现信号称为柯氏谱：

$$H_0(Z) = e^{C(Z)}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty} h_n Z^n = \exp\!\left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n Z^n \right)$$

$c_n$ 即为柯氏谱，上式称为柯尔莫洛夫方程。柯氏谱可由振幅谱计算得到：

$$\begin{cases} c_0 = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \ln|H(\varphi)| \, \mathrm{d}\varphi \\\\ c_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \ln|H(\varphi)| \, \mathrm{e}^{in\varphi} \, \mathrm{d}\varphi, \quad n \geqslant 1 \end{cases}$$

2. 柯氏谱与最小相位信号递推关系

对柯尔莫洛夫方程两边求导可推出

$$\begin{cases} h_0(0) = e^{c_0} \\\\ h_0(n+1) = \dfrac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} (n+1-k)c_{n+1-k} h_0(k) \end{cases}$$

$$\begin{cases} c_0 = \ln h_0(0) \\\\ c_{n+1} = \dfrac{1}{(n+1)h_0(0)}\left[(n+1)h_0(n+1) - \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)c_{k+1}h_0(n-k)\right] \end{cases}$$

3. 由振幅谱确定最小相位信号

1. FFT 计算柯氏谱：

   $$c_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \ln|H(\omega)|\, d\omega,\quad c_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \ln|H(\omega)|e^{i n\omega}\, d\omega\ (n \ge 1)$$

2. 用上述递推公式由 $c_n$ 求 $h_0(n)$。

Note

若 $|H(\omega)|$ 有零点，可用 $\varepsilon$ 扰动法：取 $|H(\omega)| + \varepsilon$ 作近似。

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