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外观

第六章：能量方法

约 978 字大约 3 分钟

2026-01-28

1 应变能

1.1 变形功与应变能

弹性体在外力作用下发生变形，载荷在变形上所做的功称为变形功。对于线弹性材料，当载荷与变形呈线性关系时，变形功为

W=∫V12σijεijdV=UW = \int_V \frac{1}{2}\sigma_{ij}\varepsilon_{ij}\text{d}V=U

这部分功全部转化为应变能储存在弹性体内。当载荷缓慢卸去时，应变能又转化为外力功释放出来，这一过程是可逆的。

1.2 应变能密度

应变能密度 U0U_0 是单位体积的应变能，定义为

U0=12σijεijU_0 = \frac{1}{2}\sigma_{ij}\varepsilon_{ij}

∂U0∂σij=εij,∂U0∂εij=σij\frac{\partial U_0}{\partial \sigma_{ij}}=\varepsilon_{ij},\quad \frac{\partial U_0}{\partial \varepsilon_{ij}}=\sigma_{ij}

2 虚功原理和最小势能原理

2.1 虚位移，虚功和虚应变

虚位移：在给定时刻，符合约束条件的无限小位移变化，记为 δui\delta u_i。虚位移不是实际发生的位移，而是一个假想的、满足约束条件的位移增量。

虚应变：由虚位移引起的应变变化，记为 δεij\delta \varepsilon_{ij}。对于小变形，虚应变与真实应变的关系为：

δεij=12(δui,j+δuj,i)\delta \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(\delta u_{i,j} + \delta u_{j,i})

虚功：力在虚位移上所做的功，或应力在虚应变上所做的功。

  • 体力 fif_i 在虚位移 δui\delta u_i 上的虚功为 fiδuidVf_i\delta u_i \text{d}V
  • 面力 pip_i 在虚位移上的虚功为 piδuidSp_i\delta u_i \text{d}S
  • 应力 σij\sigma_{ij} 在虚应变上的虚功为 σijδεijdV\sigma_{ij}\delta \varepsilon_{ij} \text{d}V

2.2 虚功原理

虚功原理：对于一个处于平衡状态的弹性体，外力在任意虚位移上所做的虚功等于内力（应力）在相应虚应变上所做的虚功。

δW=δU\delta W = \delta U

∫VfiδuidV+∫SσpiδuidS=∫VσijδεijdV\int_V f_i \delta u_i \text{d}V + \int_{S_\sigma} p_i \delta u_i \text{d}S = \int_V \sigma_{ij} \delta \varepsilon_{ij} \text{d}V

2.3 最小势能原理

最小势能原理：在所有满足位移边界条件的可能位移场中，真实位移场使弹性系统的总势能取最小值。

δΠ=0,δ2Π>0\delta \Pi = 0, \quad \delta^2 \Pi > 0

总势能：弹性系统的总势能 Π\Pi 定义为

Π=U−W=∫V12σijεijdV−∫V12fiuidV−∫Sσ12piuidS\Pi = U - W = \int_V \frac{1}{2}\sigma_{ij}\varepsilon_{ij} \text{d}V - \int_V \frac{1}{2}f_i u_i \text{d}V - \int_{S_\sigma} \frac{1}{2}p_i u_i \text{d}S

其中 UU 为应变能，WW 为外力功。

注

最小势能原理的变分形式 δΠ=0\delta \Pi = 0 等价于虚功原理，对于弹性保守系统，两者是等价的。

3 Rayleigh-Ritz 法简介

Rayleigh-Ritz 法是求解弹性力学变分问题的直接近似方法。其基本思想是将连续体的无限自由度问题转化为有限自由度问题，通过近似满足最小势能原理来求解。

求解思路：

  1. 选择位移模式：假设位移场为

    ui=ui0+∑n=1Nanuinu_i = u_i^0 + \sum_{n=1}^N a_n u_i^n

    其中 ui0u_i^0 是满足非齐次位移边界条件的位移场，uinu_i^n 是满足齐次位移边界条件的位移场，ana_n 为待定参数。

  2. 构造总势能泛函：将假设的位移场代入总势能表达式，得到关于待定参数 ana_n 的函数 Π(a1,a2,...,aN)\Pi(a_1, a_2, ..., a_N)。

  3. 应用最小势能原理：令总势能对各参数的偏导数为零

    ∂Π∂an=0,n=1,2,...,N\frac{\partial \Pi}{\partial a_n} = 0, \quad n = 1, 2, ..., N

    得到 NN 个代数方程。

  4. 求解代数方程组：解上述方程组，得到待定参数 ana_n 的值。

  5. 计算位移、应变和应力：将求得的参数代回位移模式，得到近似位移场，进一步计算应变和应力。

Rayleigh-Ritz 法的优点是原理简单，计算方便，特别适合于计算机求解，其精度取决于位移模式的选择，位移模式越接近真实解，结果越精确。

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