平衡方程（3个）：
$\sigma_{ij,j} + f_i = 0$
其中 $f_i$ 为体力分量。
几何方程（6个）：
$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i})$
其中 $\varepsilon_{ij}$ 为应变分量， $u_i$ 为位移分量。
本构方程（6个）：
$\sigma_{ij} = \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij} + 2G\varepsilon_{ij}$
或
$\varepsilon_{ij} = \frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij} - \frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}$
注
本章此后讨论均假设介质具有各向同性。

位移解法以位移 $u_i$ 为基本未知量，通过将几何方程和本构方程代入平衡方程，得到关于位移的偏微分方程组（Lame-Navier方程）：

G u_{i,jj} + (\lambda + G)u_{j,ji} + f_i = 0

也即

G\nabla^2 \boldsymbol{u} + (\lambda + G)\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{u}) + \boldsymbol{f} = 0

位移解法适用于位移边界条件较简单的问题，如全部边界给定位移的边值问题。

应力解法以应力 $\sigma_{ij}$ 为基本未知量，通过将本构方程代入应变协调方程，得到应力协调方程（Beltrami-Michell方程）：

\nabla^2\sigma_{ij} + \frac{1}{1+\nu}\sigma_{kk,ij} = -\frac{\nu}{1-\nu}(f_{k,k})\delta_{ij} - (f_{i,j} + f_{j,i})

在无体力情况下，简化为：

\nabla^2\sigma_{ij} + \frac{1}{1+\nu}\sigma_{kk,ij} = 0

由于指标 $i$ 和 $j$ 对称，所以共有六个方程。

注

六个应力协调方程并不完全独立，不能由其解出六个应力分量。

应力解法需同时满足平衡方程和应力协调方程，适用于力边界条件较简单的问题，如全部边界给定外力的边值问题。

3 二维问题控制方程

二维问题其实是伪二位问题。对于一些特殊的三维问题，可以将其控制方程转化为二维形式求解，但注意其本质仍是三维问题。

注

约定指标 $i,j,k \in \set{1,2,3}$ 以及 $\alpha,\beta,\gamma \in \set{1,2}$

边界条件：柱状弹性体；面力分布没有 z 分量，与 z 无关。

基本假设：

控制方程：

平衡方程：
$\sigma_{ij,j} + f_i = 0 \Rightarrow \sigma_{\alpha,\beta} + f_\alpha = 0$
几何方程：
$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \Rightarrow \varepsilon_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}(u_{\alpha,\beta} + u_{\beta,\alpha})$
本构方程：
$\sigma_{ij} = \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij} + 2G\varepsilon_{ij}\Rightarrow \begin{cases} \sigma_{\alpha\beta} = \lambda \varepsilon_{\gamma\gamma}\delta_{\alpha\beta} + 2G\varepsilon_{\alpha\beta}\\\\ \sigma_z=\nu(\sigma_x+\sigma_y) \end{cases}$
或
$\varepsilon_{ij} = \frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij} - \frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij} \Rightarrow \varepsilon_{\alpha\beta} = \frac{1+\nu}{E}\sigma_{\alpha\beta} - \frac{\nu(1+\nu)}{E}\sigma_{\gamma\gamma}\delta_{\alpha\beta}$

应变协调方程：五个自动满足，仅剩

\varepsilon_{x,yy}+\varepsilon_{y,xx}-\gamma_{xy,xy}=0

微分方程：

位移解法：
$G u_{\alpha,\beta\beta} + (\lambda + G)u_{\beta,\beta\alpha} + f_\alpha = 0$
应力解法：

\begin{cases} \nabla^2\sigma_{\alpha\alpha} = \dfrac{1}{\nu-1}f_{\alpha,\alpha} \\\\ \sigma_{\alpha,\beta} + f_\alpha = 0 \end{cases}

基本假设：

应力：
$\sigma_z = \sigma_{zx} = \sigma_{zy} = 0$
应变：
$\varepsilon_z=-\frac{\lambda}{\lambda+2G}(\varepsilon_x+\varepsilon_y)\\ \varepsilon_{zx}=\varepsilon_{zy}=0$
位移：
$w=w(x,y,z)$

控制方程：

平衡方程：
$\sigma_{ij,j} + f_i = 0 \Rightarrow \sigma_{\alpha,\beta} + f_\alpha = 0$
几何方程：
$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \Rightarrow \varepsilon_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}(u_{\alpha,\beta} + u_{\beta,\alpha})$
本构方程：
$\varepsilon_{ij} = \frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij} - \frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij} \Rightarrow \begin{cases} \varepsilon_{\alpha\beta} = \dfrac{1+\nu}{E}\sigma_{\alpha\beta} - \dfrac{\nu}{E}\sigma_{\gamma\gamma}\delta_{\alpha\beta}\\\\ \varepsilon_z=-\dfrac{1}{E}(\sigma_x+\sigma_y) \end{cases}$
或
$\sigma_{ij} = \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij} + 2G\varepsilon_{ij}\Rightarrow \sigma_{\alpha\beta} = \frac{2G\lambda}{\lambda+2G} \varepsilon_{\gamma\gamma}\delta_{\alpha\beta} + 2G\varepsilon_{\alpha\beta}$

应变协调方程：三个自动满足，剩下

\varepsilon_{z,xx}=0\\ \varepsilon_{z,yy}=0\\ \varepsilon_{z,xy}=0

因此 $\varepsilon_z=Ax+By+C$ 。

注

关于 $w$ ：

w=\int \varepsilon_z \text{d}z = \varepsilon_z(x,y)z+w_0(x,y)

由于平面问题的几何形状，载荷和约束均与 $z$ 无关，所以在杆的中段存在一截面，其两侧变形状态对称于该截面。选取坐标系使该截面的坐标 $z=0$ ，则由对称性得 $w_0=0$ ，上式化简为

w=(Ax+By+C)z

再由 $\varepsilon_{zx}=\varepsilon_{zy}=0$ 得

A=B=0

因此

w=Cz

微分方程：

位移解法：
$G u_{\alpha,\beta\beta} + \frac{E}{2(1-\nu)}u_{\beta,\beta\alpha} + f_\alpha = 0$
应力解法：
$\begin{cases} \nabla^2\sigma_{\alpha\alpha} = -(\nu+1)f_{\alpha,\alpha} \\\\ \sigma_{\alpha,\beta} + f_\alpha = 0 \end{cases}$

注

两类问题的关系：平面应力问题和面应变问题的控制方程形式相同，仅弹性常数不同。

通过将平面应力问题中的弹性常数 $E$ 和 $\nu$ 分别替换为 $\dfrac{E}{1-\nu^2}$ 和 $\dfrac{\nu}{1-\nu}$ ，即可得到平面应变问题的解。
通过将平面应变问题中的弹性常数 $E$ 和 $\nu$ 分别替换为 $\dfrac{E(1+2\nu)}{(1+\nu)^2}$ 和 $\dfrac{\nu}{1+\nu}$ ，即可得到平面应力问题的解。