射线的振幅和相位

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2026-04-25

射线管与能流守恒

在均匀或缓慢变化的无耗散介质中，能量沿射线管传播且总功率守恒。

地震波的能量密度：

\tilde{E} = \tilde{E}_k + \tilde{E}_p = \frac{1}{2}\rho A^2 \omega^2

能流密度：

\tilde{S} = \tilde{E}c = \frac{1}{2}\rho c \omega^2 A^2

由能流守恒 $\tilde{S}_1 ds_1 = \tilde{S}_2 ds_2$ ，得振幅关系：

A_2 = A_1\sqrt{\frac{\rho_1 c_1 ds_1}{\rho_2 c_2 ds_2}}

该式表明，振幅受介质阻抗 $\rho c$ 与射线管几何扩散 $ds$ 共同调制。

一维速度模型的几何扩散

水平分层介质

在震源处建立球坐标系，设震源处的速度为 $v_0$ ，射线出射角为 $\theta_0$ 。震源处的单位球面上的面元为

ds_1 = \sin \theta_0 d\theta d\phi= \frac{pv_0^2}{\cos\theta_0}dpd\phi

接收点的面元为

ds_2 = X d\phi \cos \theta_0 dX = X\cos\theta_0d\phi dX

因此，接收点的振幅可以表示为

A(X) = A_0 \sqrt{\frac{\rho_0 v_0}{\rho v} \frac{pv_0^2}{X\cos^2\theta_0}\frac{dp}{dX}}

注意

我们知道在射线经过高速带时，走时曲线会出现多值的三重线，在焦散点处 $dX/dp=0$ ，代入上式发现振幅会趋于无穷大，所以焦散点的射线理论是不成立的，这些点附近的波场需要用波动理论来描述。

球对称介质

在震源处建立球坐标系（球极指向地球球心），设震源处的速度为 $v_0$ ，射线出射角为 $\theta_0$ 。震源处的单位球面上的面元为

ds_1 = \sin \theta_0 d\theta d\phi

利用 $p_{sph}=\frac{r_e \sin\theta_0}{v_0}$ 的微分结果：

d\theta=\frac{v_0}{r_e \cos\theta_0}dp_{sph}

将上式代入震源处面元表达式，得到

ds_1 = \frac{p_{sph}v_0^2}{r_e^2 \cos\theta_0}dp_{sph}d\phi

接收点的面元为

ds_2 = r_e^2 \sin\Delta \cos\theta_0 d\Delta d\phi

因此，接收点的振幅可以表示为

A(\Delta) = A_0 \sqrt{\frac{\rho_0 v_0}{\rho v} \frac{p_{sph}v_0^2}{r_e^4 \sin\Delta\cos^2\theta_0}\frac{dp_{sph}}{d\Delta}}

反/透射系数

在一维水平层状介质中，P 波和 SV 波遇到界面后会相互耦合，但 SH 波与 P/SV 波不耦合。也就是说，入射的 P/SV 波会产生反射和透射的 P/SV 波，但入射的 SH 波只会产生反射和透射的 SH 波。

我们假设速度间断面是水平的，平面波在 $x-z$ 平面内传播，并假设向下为 $z$ 坐标的正方向。

设 P 波，SV 波和 SH 波的上行/下行波的表达式如下：

\mathbf{u}^{Pd}(\omega) = A \begin{bmatrix} p \\ 0 \\ \eta \end{bmatrix} e^{i\omega(p x + \eta z)}

\mathbf{u}^{Pu}(\omega) = B \begin{bmatrix} p \\ 0 \\ -\eta \end{bmatrix} e^{i\omega(p x - \eta z)}

\mathbf{u}^{SVd}(\omega) = A \begin{bmatrix} \eta \\ 0 \\ -p \end{bmatrix} e^{i\omega(p x + \eta z)}

\mathbf{u}^{SVu}(\omega) = B \begin{bmatrix} -\eta \\ 0 \\ -p \end{bmatrix} e^{i\omega(p x - \eta z)}

\mathbf{u}^{SHd}(\omega) = A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} e^{i\omega(p x + \eta z)}

\mathbf{u}^{SHu}(\omega) = B \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} e^{i\omega(p x - \eta z)}

入射波碰到间断面产生反/透射波，表明入射波的能量进行了重新分配。间断面上下介质中的波动需要满足位移-应力连续性条件：

固固界面：位移连续；应力连续
固流界面：位移连续；法向应力连续，切向应力为零
自由表面：应力为零

SH 波的反/透射系数

入射波可以表示为

u_y(\omega) = Ae^{i\omega(p x + \eta_1 z)}

反射波可以表示为

u_y(\omega) = Be^{i\omega(p x - \eta_1 z)}

透射波可以表示为

u_y(\omega) = Ce^{i\omega(p x + \eta_2 z)}

由位移连续性条件，取 $z=0$ ，得到

A + B = C

应力连续性条件为

\mathbf{t}_1(\hat{z})=\begin{bmatrix} \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zz} \end{bmatrix} = \mathbf{t}_2(\hat{z}) = \begin{bmatrix} \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zz} \end{bmatrix}

由于 SH 波只有 $y$ 分量，且不是 $y$ 的函数，因此 $\tau_{xz} = \tau_{zz} = 0$ 。

\tau_{yz} = \mu \frac{\partial u_y}{\partial z}

将位移的表达式代入，取 $z=0$ ，得到

\eta_1\mu_1 A - \eta_1\mu_1 B = \eta_2\mu_2 C

解出反/透射系数：

R_{SH} = \frac{B}{A} = \frac{\eta_1\mu_1 - \eta_2\mu_2}{\eta_1\mu_1 + \eta_2\mu_2} = \frac{\rho_1\beta_1\cos\theta_1 - \rho_2\beta_2\cos\theta_2}{\rho_1\beta_1\cos\theta_1 + \rho_2\beta_2\cos\theta_2}

T_{SH} = \frac{C}{A} = \frac{2\eta_1\mu_1}{\eta_1\mu_1 + \eta_2\mu_2} = \frac{2\rho_1\beta_1\cos\theta_1}{\rho_1\beta_1\cos\theta_1 + \rho_2\beta_2\cos\theta_2}

射线的振幅和相位

射线管与能流守恒

一维速度模型的几何扩散

水平分层介质

球对称介质

反/透射系数

SH 波的反/透射系数

能量归一化反/透射系数

平面波中的矩阵方法

广义反/透射系数

非均匀平面波

KMAH 数

本征衰减

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