射线管与能流守恒

在均匀或缓慢变化的无耗散介质中，能量沿射线管传播且总功率守恒。

地震波的能量密度：

$$\tilde{E} = \tilde{E}_k + \tilde{E}_p = \frac{1}{2}\rho A^2 \omega^2$$

能流密度：

$$\tilde{S} = \tilde{E}c = \frac{1}{2}\rho c \omega^2 A^2$$

由能流守恒 $\tilde{S}_1 ds_1 = \tilde{S}_2 ds_2$，得振幅关系：

$$A_2 = A_1\sqrt{\frac{\rho_1 c_1 ds_1}{\rho_2 c_2 ds_2}}$$

该式表明，振幅受介质阻抗 $\rho c$ 与射线管几何扩散 $ds$ 共同调制。

一维速度模型的几何扩散

水平分层介质

在震源处建立球坐标系，设震源处的速度为 $v_0$，射线出射角为 $\theta_0$。震源处的单位球面上的面元为

$$ds_1 = \sin \theta_0 d\theta d\phi= \frac{pv_0^2}{\cos\theta_0}dpd\phi$$

接收点的面元为

$$ds_2 = X d\phi \cos \theta_0 dX = X\cos\theta_0d\phi dX$$

因此，接收点的振幅可以表示为

$$A(X) = A_0 \sqrt{\frac{\rho_0 v_0}{\rho v} \frac{pv_0^2}{X\cos^2\theta_0}\frac{dp}{dX}}$$

注意

我们知道在射线经过高速带时，走时曲线会出现多值的三重线，在焦散点处 $dX/dp=0$，代入上式发现振幅会趋于无穷大，所以焦散点的射线理论是不成立的，这些点附近的波场需要用波动理论来描述。

球对称介质

在震源处建立球坐标系（球极指向地球球心），设震源处的速度为 $v_0$，射线出射角为 $\theta_0$。震源处的单位球面上的面元为

$$ds_1 = \sin \theta_0 d\theta d\phi$$

利用 $p_{sph}=\frac{r_e \sin\theta_0}{v_0}$ 的微分结果：

$$d\theta=\frac{v_0}{r_e \cos\theta_0}dp_{sph}$$

将上式代入震源处面元表达式，得到

$$ds_1 = \frac{p_{sph}v_0^2}{r_e^2 \cos\theta_0}dp_{sph}d\phi$$

接收点的面元为

$$ds_2 = r_e^2 \sin\Delta \cos\theta_0 d\Delta d\phi$$

因此，接收点的振幅可以表示为

$$A(\Delta) = A_0 \sqrt{\frac{\rho_0 v_0}{\rho v} \frac{p_{sph}v_0^2}{r_e^4 \sin\Delta\cos^2\theta_0}\frac{dp_{sph}}{d\Delta}}$$

反/透射系数

在一维水平层状介质中，P 波和 SV 波遇到界面后会相互耦合，但 SH 波与 P/SV 波不耦合。也就是说，入射的 P/SV 波会产生反射和透射的 P/SV 波，但入射的 SH 波只会产生反射和透射的 SH 波。

我们假设速度间断面是水平的，平面波在 $x-z$ 平面内传播，并假设向下为 $z$ 坐标的正方向。

设 P 波，SV 波和 SH 波的上行/下行波的表达式如下：

$$\mathbf{u}^{Pd}(\omega) = A \begin{bmatrix} p \\ 0 \\ \eta \end{bmatrix} e^{i\omega(p x + \eta z)}$$

$$\mathbf{u}^{Pu}(\omega) = B \begin{bmatrix} p \\ 0 \\ -\eta \end{bmatrix} e^{i\omega(p x - \eta z)}$$

$$\mathbf{u}^{SVd}(\omega) = A \begin{bmatrix} \eta \\ 0 \\ -p \end{bmatrix} e^{i\omega(p x + \eta z)}$$

$$\mathbf{u}^{SVu}(\omega) = B \begin{bmatrix} -\eta \\ 0 \\ -p \end{bmatrix} e^{i\omega(p x - \eta z)}$$

$$\mathbf{u}^{SHd}(\omega) = A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} e^{i\omega(p x + \eta z)}$$

$$\mathbf{u}^{SHu}(\omega) = B \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} e^{i\omega(p x - \eta z)}$$

入射波碰到间断面产生反/透射波，表明入射波的能量进行了重新分配。间断面上下介质中的波动需要满足位移-应力连续性条件：

• 固固界面：位移连续；应力连续
• 固流界面：位移连续；法向应力连续，切向应力为零
• 自由表面：应力为零

SH 波的反/透射系数

入射波可以表示为

$$u_y(\omega) = Ae^{i\omega(p x + \eta_1 z)}$$

反射波可以表示为

$$u_y(\omega) = Be^{i\omega(p x - \eta_1 z)}$$

透射波可以表示为

$$u_y(\omega) = Ce^{i\omega(p x + \eta_2 z)}$$

由位移连续性条件，取 $z=0$，得到

$$A + B = C$$

应力连续性条件为

$$\mathbf{t}_1(\hat{z})=\begin{bmatrix} \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zz} \end{bmatrix} = \mathbf{t}_2(\hat{z}) = \begin{bmatrix} \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zz} \end{bmatrix}$$

由于 SH 波只有 $y$ 分量，且不是 $y$ 的函数，因此 $\tau_{xz} = \tau_{zz} = 0$。

$$\tau_{yz} = \mu \frac{\partial u_y}{\partial z}$$

将位移的表达式代入，取 $z=0$，得到

$$\eta_1\mu_1 A - \eta_1\mu_1 B = \eta_2\mu_2 C$$

解出反/透射系数：

$$R_{SH} = \frac{B}{A} = \frac{\eta_1\mu_1 - \eta_2\mu_2}{\eta_1\mu_1 + \eta_2\mu_2} = \frac{\rho_1\beta_1\cos\theta_1 - \rho_2\beta_2\cos\theta_2}{\rho_1\beta_1\cos\theta_1 + \rho_2\beta_2\cos\theta_2}$$

$$T_{SH} = \frac{C}{A} = \frac{2\eta_1\mu_1}{\eta_1\mu_1 + \eta_2\mu_2} = \frac{2\rho_1\beta_1\cos\theta_1}{\rho_1\beta_1\cos\theta_1 + \rho_2\beta_2\cos\theta_2}$$

能量归一化反/透射系数

根据能量守恒，SH 波入射波的能量应该等于 SH 波反射波的能量加上 SH 波透射波的能量。

$$\frac{1}{2}\rho_1\beta_1\omega^2 A^2 \cos\theta_1 = \frac{1}{2}\rho_1\beta_1\omega^2 B^2 \cos\theta_1 + \frac{1}{2}\rho_2\beta_2\omega^2 C^2 \cos\theta_2$$

进一步得到

$$1 = R_{SH}^2+\left(\sqrt{\frac{c_2\rho_2\cos\theta_2}{c_1\rho_1\cos\theta_1}}T_{SH}\right)^2$$

定义能量归一化反/透射系数为

$$R_{SH}^{norm}=R_{SH}$$

$$T_{SH}^{norm}=\sqrt{\frac{\beta_2\rho_2\cos\theta_2}{\beta_1\rho_1\cos\theta_1}}T_{SH}$$

它们平方的意义是反/透射波能量相对于入射波能量的百分比。

同样的分析我们也可以得到 P/SV 波的能量归一化反/透射系数：

$$R_{PP}^{norm}=R_{PP},\quad R_{PS}^{norm}=\sqrt{\frac{\beta_1\rho_1\cos\phi_1}{\alpha_1\rho_1\cos\theta_1}}R_{PS},\quad T_{PP}^{norm}=\sqrt{\frac{\alpha_2\rho_2\cos\theta_2}{\alpha_1\rho_1\cos\theta_1}}T_{PP},\quad T_{PS}^{norm}=\sqrt{\frac{\beta_2\rho_2\cos\phi_2}{\alpha_1\rho_1\cos\theta_1}}T_{PS}$$

$$R_{SS}^{norm}=R_{SS},\quad R_{SP}^{norm}=\sqrt{\frac{\alpha_1\rho_1\cos\theta_1}{\beta_1\rho_1\cos\phi_1}}R_{SP},\quad T_{SS}^{norm}=\sqrt{\frac{\beta_2\rho_2\cos\phi_2}{\beta_1\rho_1\cos\phi_1}}T_{SS},\quad T_{SP}^{norm}=\sqrt{\frac{\alpha_2\rho_2\cos\theta_2}{\beta_1\rho_1\cos\phi_1}}T_{SP}$$

其中 $\theta_1$ 为介质 1 中 P 波的入射角和反射角，$\theta_2$ 为介质 2 中 P 波的透射角，$\phi_1$ 为介质 1 中 SV 波的入射角和反射角，$\phi_2$ 为介质 2 中 SV 波的透射角。

平面波中的矩阵方法

以上我们处理的都是简单的 SH 波的反/透射问题，对于 P/SV 波的反/透射问题，理论上也可以使用类似的方法来求解，但由于 P/SV 波的耦合关系会比 SH 波更复杂，因此我们引入矩阵方法来处理平面波的反/透射问题。

位移-应力矢量方程组

假设平面波在 $x-z$ 平面内传播，平面波的表达式可以统一地表示为

$$\mathbf{u}(x,z,\omega) = \begin{bmatrix} r_1(z) \\ l_1(z) \\ r_2(z) \end{bmatrix} e^{i\omega p x}$$

同时设应力矢量为

$$\mathbf{t}(\hat{z}) = \begin{bmatrix} \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_3(z) \\ l_2(z) \\ r_4(z) \end{bmatrix} e^{i\omega p x}$$

令 $\omega p = k$，利用本构方程可以得到

$$r_3(z) = \mu \frac{dr_1}{dz} + ik\mu r_2$$

$$l_2(z) = \mu \frac{dl_1}{dz}$$

$$r_4(z) = (\lambda + 2\mu)\frac{dr_2}{dz} + ik\lambda r_1$$

将位移表达式代入弹性波动方程，得到

$$(\lambda+2\mu)(-k^2r_1+ik\frac{dr_2}{dz})-\mu (ik\frac{dr_2}{dz}-\frac{d^2r_1}{dz^2})+\rho\omega^2r_1 = 0$$

$$(\lambda+2\mu)(ik\frac{dr_1}{dz}+\frac{d^2r_2}{dz^2})-\mu (ik\frac{dr_1}{dz}+k^2r_2)+\rho\omega^2r_2 = 0$$

$$-\mu (k^2l_1 - \frac{d^2l_2}{dz^2}) + \rho\omega^2l_1 = 0$$

将上面六组方程联立，消去二阶导数得到两组独立的一阶方程组：

$$\frac{d}{dz}\begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -ik & \mu^{-1} & 0 \\ -\frac{ik\lambda}{\lambda+2\mu} & 0 & 0 & \frac{1}{\lambda+2\mu} \\ \frac{4\mu(\lambda+\mu)k^2}{\lambda+2\mu}-\rho\omega^2 & 0 & 0 & -\frac{ik\lambda}{\lambda+2\mu} \\ 0 & -\rho\omega^2 & -ik & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4 \end{bmatrix}$$

$$\frac{d}{dz}\begin{bmatrix} l_1 \\ l_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \mu^{-1} \\ k^2\mu - \rho\omega^2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_1 \\ l_2 \end{bmatrix}$$

分别对应 P/SV 波和 SH 波的位移-应力矢量方程组。

位移-应力矢量方程组的一般解

上面两组方程可以统一地写成下面形式

$$\frac{d}{dz}\mathbf{y}(z) = \mathbf{A}\mathbf{y}(z)$$

其中 $\mathbf{y}(z)$ 为位移-应力矢量，$\mathbf{A}$ 是常数矩阵。可以发现两组方程的 $\mathbf{A}$ 均是满秩的，设其本征值为 $\lambda_i$，本征向量为 $\mathbf{a}_i$，所以位移-应力矢量可以表示为

$$\mathbf{y}(z) = \sum_{i} c_i(z)\mathbf{a}_i$$

代入方程可以推导出

$$c_i(z) = c_i(z_0)e^{\lambda_i (z-z_0)}$$

因此，位移-应力矢量的解可以表示为

$$\mathbf{y}(z) = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{\lambda_1 (z-z_0)} &&& \\ & e^{\lambda_2 (z-z_0)} &&\\ &&\ddots &\\ &&&e^{\lambda_n (z-z_0)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1(z_0) \\ c_2(z_0) \\ \vdots \\ c_n(z_0) \end{bmatrix}$$

简记为

$$\mathbf{y}(z) = \mathbf{E} \mathbf{\Lambda}(z,z_0) \mathbf{c}(z_0)$$

SH 波

$$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 0 & \mu^{-1} \\ k^2\mu - \rho\omega^2 & 0 \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{E} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ i\omega\mu\eta & -i\omega\mu\eta \end{bmatrix}\quad \mathbf{E}^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & -i/(2\omega\mu\eta) \\ 1/2 & i/(2\omega\mu\eta) \end{bmatrix}$$

其中 $\eta = \sqrt{1/\beta^2 - p^2}$ 为 SH 波的纵向波慢度，$p$ 为水平波慢度。

$$\mathbf{\Lambda} = \begin{bmatrix} e^{i\omega\eta (z-z_0)} & 0 \\0 & e^{-i\omega\eta (z-z_0)} \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}l_1(z) \\ l_2(z) \end{bmatrix} = \mathbf{E} \mathbf{\Lambda}(z,z_0) \begin{bmatrix} c^d \\ c^u \end{bmatrix}$$

P/SV 波

$$\mathbf{A}= \begin{bmatrix} 0 & -ik & \mu^{-1} & 0 \\ -\frac{ik\lambda}{\lambda+2\mu} & 0 & 0 & \frac{1}{\lambda+2\mu} \\ \frac{4\mu(\lambda+\mu)k^2}{\lambda+2\mu}-\rho\omega^2 & 0 & 0 & -\frac{ik\lambda}{\lambda+2\mu} \\ 0 & -\rho\omega^2 & -ik & 0 \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{E} = \begin{bmatrix} \alpha p & \beta \eta & \alpha p & \beta \eta \\ \alpha \xi & -\beta p & -\alpha \xi & \beta p \\ 2i \omega \rho \alpha \beta^2 p \xi & i \omega \rho \beta (1 - 2 \beta^2 p^2) & -2i \omega \rho \alpha \beta^2 p \xi & -i \omega \rho \beta (1 - 2 \beta^2 p^2) \\ i \omega \rho \alpha (1 - 2 \beta^2 p^2) & -2i \omega \rho \beta^3 p \eta & i \omega \rho \alpha (1 - 2 \beta^2 p^2) & -2i \omega \rho \beta^3 p \eta \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{E}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{\beta^2 p}{\alpha} & \frac{1 - 2 \beta^2 p^2}{2 \alpha \xi} & \frac{-i p}{2 \omega \rho \alpha \xi} & \frac{-i}{2 \omega \rho \alpha} \\ \frac{1 - 2 \beta^2 p^2}{2 \beta \eta} & -\beta p & \frac{-i}{2 \omega \rho \beta} & \frac{i p}{2 \omega \rho \beta \eta} \\ \frac{\beta^2 p}{\alpha} & \frac{-(1 - 2 \beta^2 p^2)}{2 \alpha \xi} & \frac{i p}{2 \omega \rho \alpha \xi} & \frac{-i}{2 \omega \rho \alpha}\\ \frac{1 - 2 \beta^2 p^2}{2 \beta \eta} & \beta p & \frac{i}{2 \omega \rho \beta} & \frac{i p}{2 \omega \rho \beta \eta} \end{bmatrix}$$

其中 $\eta = \sqrt{1/\beta^2 - p^2}$，$\xi = \sqrt{1/\alpha^2 - p^2}$ 分别为 SV 波和 P 波的纵向波慢度，$p$ 为水平波慢度。

$$\mathbf{\Lambda} = \begin{bmatrix} e^{i\omega\xi (z-z_0)} &&& \\ & e^{i\omega\eta (z-z_0)} &&\\ &&e^{-i\omega\xi (z-z_0)} &\\ &&&e^{-i\omega\eta (z-z_0)} \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}r_1(z) \\ r_2(z)\\ r_3(z) \\ r_4(z) \end{bmatrix} = \mathbf{E} \mathbf{\Lambda}(z,z_0) \begin{bmatrix} c^d_\alpha \\ c^d_\beta\\ c^u_\alpha \\ c^u_\beta \end{bmatrix}$$

P 波的反/透射系数

下面用矩阵方法来求解 P-SV 波的反/透射系数。假设入射波为 P 波，两介质中各自的位移-应力矢量可以表示为

$$\begin{bmatrix}r_1(z) \\ r_2(z)\\ r_3(z) \\ r_4(z) \end{bmatrix}^{(1)} = \mathbf{E}^{(1)} \mathbf{\Lambda}^{(1)}(z,z_0) \begin{bmatrix} c^d_{\alpha_1}(z_0) \\ 0 \\ c^u_{\alpha_1}(z_0) \\ c^u_{\beta_1}(z_0) \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}r_1(z) \\ r_2(z)\\ r_3(z) \\ r_4(z) \end{bmatrix}^{(2)} = \mathbf{E}^{(2)} \mathbf{\Lambda}^{(2)}(z,z_0) \begin{bmatrix} c^d_{\alpha_2}(z_0) \\ c^d_{\beta_2}(z_0)\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

设参考深度 $z_0=0$，应用分界面（$z=0$）位移-应力连续性条件，得到

$$\mathbf{E}^{(1)}\begin{bmatrix} c^d_{\alpha_1} \\ 0 \\ c^u_{\alpha_1} \\ c^u_{\beta_1} \end{bmatrix} = \mathbf{E}^{(2)} \begin{bmatrix} c^d_{\alpha_2} \\ c^d_{\beta_2}\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

将矩阵 $\mathbf{E}$ 拆分成 $4$ 个 $2 \times 2$ 阶的矩阵：

$$\begin{bmatrix} \mathbf{E}_{11}^{(1)} & \mathbf{E}_{12}^{(1)} \\ \mathbf{E}_{21}^{(1)} & \mathbf{E}_{22}^{(1)} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c^d_{\alpha_1} \\ 0 \\ c^u_{\alpha_1} \\ c^u_{\beta_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{E}_{11}^{(2)} & \mathbf{E}_{12}^{(2)} \\ \mathbf{E}_{21}^{(2)} & \mathbf{E}_{22}^{(2)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c^d_{\alpha_2} \\ c^d_{\beta_2}\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

由此得到

$$\mathbf{E}_{11}^{(1)}\begin{bmatrix} c^d_{\alpha_1} \\ 0 \end{bmatrix} + \mathbf{E}_{12}^{(1)} \begin{bmatrix} c^u_{\alpha_1} \\ c^u_{\beta_1} \end{bmatrix} = \mathbf{E}_{11}^{(2)} \begin{bmatrix} c^d_{\alpha_2} \\ c^d_{\beta_2}\\ \end{bmatrix} \tag{1}$$

$$\mathbf{E}_{21}^{(1)}\begin{bmatrix} c^d_{\alpha_1} \\ 0 \end{bmatrix} + \mathbf{E}_{22}^{(1)} \begin{bmatrix} c^u_{\alpha_1} \\ c^u_{\beta_1} \end{bmatrix} = \mathbf{E}_{21}^{(2)} \begin{bmatrix} c^d_{\alpha_2} \\ c^d_{\beta_2}\\ \end{bmatrix} \tag{2}$$

由式 (1) 可以得到

$$(\mathbf{E}_{11}^{(2)})^{-1}\mathbf{E}_{11}^{(1)}\begin{bmatrix} c^d_{\alpha_1} \\ 0 \end{bmatrix} + (\mathbf{E}_{11}^{(2)})^{-1}\mathbf{E}_{12}^{(1)} \begin{bmatrix} c^u_{\alpha_1} \\ c^u_{\beta_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c^d_{\alpha_2} \\ c^d_{\beta_2}\\ \end{bmatrix} \tag{3}$$

将式 (3) 代入式 (2)，得到

$$\begin{bmatrix} c^u_{\alpha_1} \\ c^u_{\beta_1} \end{bmatrix} = [\mathbf{E}_{21}^{(2)}(\mathbf{E}_{11}^{(2)})^{-1}\mathbf{E}_{12}^{(1)} - \mathbf{E}_{22}^{(1)}]^{-1} [\mathbf{E}_{21}^{(1)}-\mathbf{E}_{21}^{(2)}(\mathbf{E}_{11}^{(2)})^{-1}\mathbf{E}_{11}^{(1)}]\begin{bmatrix} c^d_{\alpha_1} \\ 0 \end{bmatrix} \tag{4}$$

可以解得反射系数表达式为

$$\begin{bmatrix} R_{PP} \\ R_{PS} \end{bmatrix} = [\mathbf{E}_{21}^{(2)}(\mathbf{E}_{11}^{(2)})^{-1}\mathbf{E}_{12}^{(1)} - \mathbf{E}_{22}^{(1)}]^{-1} [\mathbf{E}_{21}^{(1)}-\mathbf{E}_{21}^{(2)}(\mathbf{E}_{11}^{(2)})^{-1}\mathbf{E}_{11}^{(1)}]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

将式 (4) 代入式 (3)，得到透射系数表达式为

$$\begin{bmatrix} T_{PP} \\ T_{PS} \end{bmatrix} = (\mathbf{E}_{11}^{(2)})^{-1}\mathbf{E}_{11}^{(1)}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + (\mathbf{E}_{11}^{(2)})^{-1}\mathbf{E}_{12}^{(1)} \begin{bmatrix} R_{PP} \\ R_{PS} \end{bmatrix}$$

注

对于 P 波垂直入射得特殊情形，有

$$R_{PP} = \frac{\rho_2\alpha_2 - \rho_1\alpha_1}{\rho_1\alpha_1 + \rho_2\alpha_2}$$

$$T_{PP} = \frac{2\rho_1\alpha_1}{\rho_1\alpha_1 + \rho_2\alpha_2}$$

P 波表面反射系数

下面用矩阵方法来求解 P 波的表面反射系数。设参考深度 $z_0=0$，应用自由表面（$z=0$）边界条件得到

$$\begin{bmatrix}r_1(0) \\ r_2(0)\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{E} \mathbf{\Lambda}(0,0) \begin{bmatrix} c^d_\alpha \\ c^d_\beta\\ c^u_\alpha \\ c^u_\beta \end{bmatrix}$$

得到四组等式：

$$\begin{cases} r_1(0) = \alpha p c_\alpha^{\mathrm{d}} + \beta\eta c_\beta^{\mathrm{d}} + \alpha p c_\alpha^{\mathrm{u}} \\[6pt] r_2(0) = \alpha\xi c_\alpha^{\mathrm{d}} - \beta p c_\beta^{\mathrm{d}} - \alpha\xi c_\alpha^{\mathrm{u}} \\[6pt] 0 = 2\mathrm{i}\omega\rho\alpha\beta^2 p\xi c_\alpha^{\mathrm{d}} + \mathrm{i}\omega\rho\beta(1-2\beta^2p^2)c_\beta^{\mathrm{d}} - 2\mathrm{i}\omega\rho\alpha\beta^2 p\xi c_\alpha^{\mathrm{u}} \\[6pt] 0 = \mathrm{i}\omega\rho\alpha(1-2\beta^2p^2)c_\alpha^{\mathrm{d}} - 2\mathrm{i}\omega\rho\beta^3 p\eta c_\beta^{\mathrm{d}} + \mathrm{i}\omega\rho\alpha(1-2\beta^2p^2)c_\alpha^{\mathrm{u}} \end{cases}$$

由后两个式子可以解得

$$R_{PP} = \frac{\beta^2\sin2\theta\sin2\phi - \alpha^2\cos^2 2\phi}{\beta^2\sin2\theta\sin2\phi + \alpha^2\cos^2 2\phi}$$

$$R_{PS} = \frac{2\alpha\beta\sin2\theta\cos2\phi}{\beta^2\sin2\theta\sin2\phi + \alpha^2\cos^2 2\phi}$$

$p=\frac{\sin\theta}{\alpha}=\frac{\sin\phi}{\beta}$，$\xi=\frac{\cos\theta}{\alpha}$，$\eta=\frac{\cos\phi}{\beta}$，其中 $\theta$ 为 P 波的入射角和反射角，$\phi$ 为 SV 波的反射角。

由前两个式子可以得到

$$\left(\frac{u_x}{u_z}\right)_{z=0} = \frac{r_1(0)}{r_2(0)} = -\tan 2\phi = \tan(\pi-2\phi)$$

上式表明可以测量 P 波得初动方向与垂直方向的夹角 $2\phi$，根据 Snell 定律就可以得到 P 波的入射角。

对于 SV 波入射，同样可以用矩阵方法得到表面反射系数 $R_{SS}, R_{SP}$，以及初动方向与垂直方向的夹角。与 P 波入射不同的是，入射的 S 波有一个临界入射角，大于临界角入射后转换的 P 波就成为沿地表传播的非均匀波。

广义反/透射系数

对于多层水平介质，单一界面的反/透射系数无法描述波在层间多次反射与透射叠加后的总场响应。为此，我们引入广义反/透射系数，它表征了从某一深度向上或向下传播时，包含所有层间多次波贡献的等效反/透射特性。

多层介质模型

考虑 $N+1$ 层水平层状介质，第 $j$ 层与第 $j+1$ 层的分界面位于深度 $z^{(j)}$。设水平慢度 $p$ 固定，各层介质参数为 $\rho_j, \alpha_j, \beta_j$。将下行波与上行波的振幅矢量分别记为 $\mathbf{c}_d^{(j)}$ 和 $\mathbf{c}_u^{(j)}$。

对于第 $z^{(j)}$ 分界面，引入反/透射系数矩阵满足

$$\mathbf{c}_u^{(j)} = \mathbf{R}_{du}^{(j)} \mathbf{c}_d^{(j)} + \mathbf{T}_{uu}^{(j)} \mathbf{c}_u^{(j+1)}$$

$$\mathbf{c}_d^{(j+1)} = \mathbf{T}_{dd}^{(j)} \mathbf{c}_d^{(j)} + \mathbf{R}_{ud}^{(j)} \mathbf{c}_u^{(j+1)}$$

$$\begin{bmatrix} \mathbf{c}_u^{(j)} \\ \mathbf{c}_d^{(j+1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{R}_{du}^{(j)} & \mathbf{T}_{dd}^{(j)} \\ \mathbf{T}_{uu}^{(j)} & \mathbf{R}_{ud}^{(j)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{c}_d^{(j)} \\ \mathbf{c}_u^{(j+1)} \end{bmatrix}$$

同时将 $j$ 层介质中的上行波和下行波的参考深度分别设置为 $z^{(j)}$ 和 $z^{(j-1)}$，得到位移-应力矢量表示为

$$\mathbf{y}^{(j)}(z) = \mathbf{E}^{(j)} \begin{bmatrix} \mathbf{\Lambda}_d^{(j)}(z,z^{(j-1)}) & \\ &\mathbf{\Lambda}_u^{(j)}(z,z^{(j)}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{c}_d^{(j)} \\ \mathbf{c}_u^{(j)} \end{bmatrix}$$

若考察 P/SV 波，则

$$\mathbf{c}_d^{(j)} = \begin{bmatrix} c^d_{\alpha_j} \\ c^d_{\beta_j} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{c}_u^{(j)} = \begin{bmatrix} c^u_{\alpha_j} \\ c^u_{\beta_j} \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{R}_{du}^{(j)} = \begin{bmatrix} R_{PP} & R_{SP} \\ R_{PS} & R_{SS} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{T}_{uu}^{(j)} = \begin{bmatrix} T'_{PP} & T'_{SP} \\ T'_{PS} & T'_{SS} \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{T}_{dd}^{(j)} = \begin{bmatrix} T_{PP} & T_{SP} \\ T_{PS} & T_{SS} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{R}_{ud}^{(j)} = \begin{bmatrix} R'_{PP} & R'_{SP} \\ R'_{PS} & R'_{SS} \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{\Lambda}_d^{(j)}=\begin{bmatrix} e^{i\omega\xi_j (z-z^{(j-1)})} & \\ & e^{i\omega\eta_j (z-z^{(j-1)})}\end{bmatrix}$$

$$\mathbf{\Lambda}_u^{(j)}=\begin{bmatrix} e^{-i\omega\xi_j (z-z^{(j)})} & \\ & e^{-i\omega\eta_j (z-z^{(j)})}\end{bmatrix}$$

若考察 SH 波，则

$$\mathbf{c}_d^{(j)} = \begin{bmatrix} c^d_{\beta_j} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{c}_u^{(j)} = \begin{bmatrix} c^u_{\beta_j} \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{R}_{du}^{(j)} = \begin{bmatrix} R_{SH} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{T}_{uu}^{(j)} = \begin{bmatrix} T'_{SH} \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{T}_{dd}^{(j)} = \begin{bmatrix} T_{SH} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{R}_{ud}^{(j)} = \begin{bmatrix} R'_{SH} \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{\Lambda}_d^{(j)}=\begin{bmatrix}e^{i\omega\eta_j (z-z^{(j-1)})}\end{bmatrix}$$

$$\mathbf{\Lambda}_u^{(j)}=\begin{bmatrix}e^{-i\omega\eta_j (z-z^{(j)})}\end{bmatrix}$$

层间反/透射系数

对于第 $j$ 层与第 $j+1$ 层的分界面 $z^{(j)}$，利用位移-应力连续性条件：

$$\begin{bmatrix}\mathbf{E}_{11}^{(j)}&\mathbf{E}_{12}^{(j)}\\\mathbf{E}_{21}^{(j)}&\mathbf{E}_{22}^{(j)}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\mathbf{\Lambda}_d^{(j)}(z^{(j)}-z^{(j-1)})&\\&\mathbf{I}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{c}_d^{(j)} \\ \mathbf{c}_u^{(j)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\mathbf{E}_{11}^{(j+1)}&\mathbf{E}_{12}^{(j+1)}\\\mathbf{E}_{21}^{(j+1)}&\mathbf{E}_{22}^{(j+1)}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\mathbf{I}&\\&\mathbf{\Lambda}_d^{(j+1)}(z^{(j)}-z^{(j+1)})\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{c}_d^{(j+1)} \\ \mathbf{c}_u^{(j+1)} \end{bmatrix}$$

经过矩阵运算可以得到界面 $z^{(j)}$ 处的局部反/透射关系：

$$\begin{bmatrix} \mathbf{R}_{du}^{(j)} & \mathbf{T}_{dd}^{(j)} \\ \mathbf{T}_{uu}^{(j)} & \mathbf{R}_{ud}^{(j)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{E}_{11}^{(j+1)} - \mathbf{E}_{12}^{(j)} \\ \mathbf{E}_{21}^{(j+1)} - \mathbf{E}_{22}^{(j)} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \mathbf{E}_{11}^{(j)} - \mathbf{E}_{12}^{(j+1)} \\ \mathbf{E}_{21}^{(j)} - \mathbf{E}_{22}^{(j+1)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\Lambda}_d^{(j)}(z^{(j)}-z^{(j-1)}) & 0 \\ 0 & \mathbf{\Lambda}_d^{(j+1)}(z^{(j)}-z^{(j+1)}) \end{bmatrix}$$

广义反/透射系数递推

定义广义反/透射系数满足

$$\mathbf{c}_d^{(j+1)} = \mathbf{\hat{T}}_{dd}^{(j)} \mathbf{c}_d^{(j)}$$

$$\mathbf{c}_u^{(j)} = \mathbf{\hat{R}}_{du}^{(j)} \mathbf{c}_d^{(j)}$$

与层间反/透射关系联立得到

$$\mathbf{\hat{T}}_{dd}^{(j)}=(\mathbf{I} - \mathbf{R}_{ud}^{(j)}\mathbf{\hat{R}}_{du}^{(j+1)})^{-1}\mathbf{T}_{dd}^{(j)}$$

$$\mathbf{\hat{R}}_{du}^{(j)} = \mathbf{R}_{du}^{(j)} + \mathbf{T}_{uu}^{(j)}\mathbf{\hat{R}}_{du}^{(j+1)}\mathbf{\hat{T}}_{dd}^{(j)}$$

已知 $\mathbf{\hat{R}}_{du}^{(N)} = \mathbf{R}_{du}^{(N)}$，$\mathbf{\hat{T}}_{dd}^{(N)} = \mathbf{T}_{dd}^{(N)}$，通过上式递推可以得到从所有层的广义反/透射系数。

非均匀平面波

当波慢度矢量 $\mathbf{n}$ 为复数时，等相位面上的振幅不再相同，波场表现为非均匀平面波。

设复慢度矢量为 $\mathbf{n} = \mathbf{n}_R + i\mathbf{n}_I$，位移场可写为

$$\mathbf{u}(\mathbf{r},\omega) = \mathbf{A}e^{-\omega\mathbf{n}_I\cdot\mathbf{r}}e^{i\omega\mathbf{n}_R\cdot\mathbf{r}}$$

其中 $\mathbf{n}_R$ 控制相位传播方向，$\mathbf{n}_I$ 控制振幅衰减方向。

在水平层状介质中，非均匀波的出现与水平慢度 $p$ 的取值密切相关。考虑 S 波：

$$\mathbf{n} = p\mathbf{\hat{x}}+\eta\mathbf{\hat{z}}, \quad \eta = \sqrt{\frac{1}{\beta^2} - p^2}$$

当 $p > 1/\beta$ 时，$\eta$ 变为纯虚数。此时对应的波即为非均匀波。

$$\mathbf{u} = \mathbf{A}e^{-\omega\eta z}e^{i\omega p x}$$

KMAH 数

射线在回折点处会形成焦散面，射线管在通过焦散点后横截面的法向会发生 $180^\circ$ 的翻转，由集合扩散公式可知，位移谱会发生 $\pi/2$ 的相移。

定义 KMAH 数表示从震源到接收点的射线路径上经过焦散点的次数。每次穿越焦散点，射线振幅需乘以相位因子 $e^{-i\pi/2}$，修正后的几何扩散可统一写为

$$A_2 = A_1 (-i)^{\mathrm{KMAH}}\sqrt{\frac{c_1\rho_1}{c_2\rho_2}\bigg|\frac{ds_1}{ds_2}\bigg|}$$

本征衰减

地震波在非完全弹性介质的传播过程中弹性应变能会转化为热能，造成地震波在传播过程中的振幅衰减。除此之外，地震波在传播过程中还会发生频散现象，即不同频率的地震波以不同的速度传播。

品质因数

为了描述介质的缺陷引起的能量转换，用介质的品质因数 $Q$ 来表征介质的非弹性程度。

$$\frac{2\pi}{Q} = -\frac{\Delta E}{E}$$

驻波法

在同一观测点观测驻波，不用时间观测到的频谱峰值随时间逐渐变小，因此可以定量确定介质的品质因数，称为时间品质因数 $Q_{temporal}$。

$$A(t) = A_0 exp[-\frac{\omega }{2Q_{temporal}}(t-t_0)]$$

行波法

在行波的路径上，不同地点观测到的振幅谱随路径增加而逐渐变小，因此可以定量确定介质的品质因素，称为空间品质因数 $Q_{spatial}$。

$$A(x) = A_0 exp[-\frac{\omega }{2cQ_{spatial}}(x-x_0)]$$

线性黏弹体本构关系

地球介质中的非弹性主要是偏应力引起的，地震学中通常用线性黏弹体来描述非弹性介质。对于线性黏弹体，偏应力与偏应变之间的本构关系为

$$\left(p_0+p_1\frac{d}{dt}+\dots+p_l\frac{d^l}{dt^l}\right)\sigma_{ij}(t) = \left(s_0+s_1\frac{d}{dt}+\dots+s_m\frac{d^m}{dt^m}\right)\varepsilon_{ij}(t)\quad (i\neq j)$$

其中 $p_0, p_1, \dots, p_l$ 和 $s_0, s_1, \dots, s_m$ 是介质参数。对于线性弹性介质，$p_1=p_2=\dots=p_l=0$，$s_1=s_2=\dots=s_m=0$。

对上式做傅里叶变换得到线性黏弹体的剪切模量的表达式：

$$\sigma_{ij}(\omega) = 2\mu^*\varepsilon_{ij}(\omega)\quad (i\neq j)$$

$$\mu^* = \frac{s_0 + (-i\omega) s_1 + (-i\omega)^2 s_2 + \dots + (-i\omega)^m s_m}{p_0 + (-i\omega) p_1 + (-i\omega)^2 p_2 + \dots + (-i\omega)^l p_l}$$

同样可以得到线性黏弹体的体模量：

$$\sigma_{ii}(\omega) = 3\kappa^* \varepsilon_{ii}(\omega)$$

线性弹性介质	线性黏弹性介质
$\mu$	$\mu^*=\mu_R+i\mu_I$
$\beta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\rho}}$	$\beta^*=\sqrt{\dfrac{\mu^*}{\rho}}$
$\alpha=\sqrt{\dfrac{\lambda+2\mu}{\rho}}=\sqrt{\dfrac{\kappa+\frac{4}{3}\mu}{\rho}}$	$\alpha^*=\sqrt{\dfrac{\kappa^*+\frac{4}{3}\mu^*}{\rho}}$

设 S 平面波沿 $x$ 方向传播，线性黏弹体中的位移场为

$$u=A_0\exp\left(\frac{i\omega x}{\beta^*}\right)$$

在地震波频率范围内，地球介质对地震波的响应主要表现为弹性性质，这意味着 $Q \gg 1$，$\mu_R \gg \mu_I$，$\kappa_R \gg \kappa_I$。在一级近似下，有

$$\beta^* = \beta\sqrt{1+i\frac{\mu_I}{\mu_R}}\approx \beta\left(1+i\frac{\mu_I}{2\mu_R}\right)$$

$$\frac{1}{\beta^*}\approx \frac{1}{\beta}\left(1-i\frac{\mu_I}{2\mu_R}\right)$$

代入位移场有

$$u=A_0\exp\left(\frac{\omega x}{2\beta}\frac{\mu_I}{\mu_R}\right)\exp\left(\frac{i\omega x}{\beta}\right)$$

对比行波的振幅衰减表达式，可以得到 S 波的空间品质因数 $Q_\beta$ 为

$$\frac{1}{Q_\beta} = -\frac{\mu_I}{\mu_R}$$

同理可得 P 波的空间品质因数 $Q_\alpha$ 为

$$\frac{1}{Q_\alpha} = -\frac{\kappa_I +\frac{4}{3}\mu_I}{\kappa_R + \frac{4}{3}\mu_R}$$

定义体积品质因数 $Q_\kappa$ 为

$$\frac{1}{Q_\kappa} = -\frac{\kappa_I}{\kappa_R}$$

上述三种品质因数满足

$$\frac{1}{Q_\alpha} = \frac{1}{Q_\beta}\frac{4}{3}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^2 + \frac{1}{Q_\kappa}\left[1-\frac{4}{3}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^2\right]$$

地震波的频散

假设有脉冲波平面波 $\delta(t-x/c)$，其频谱为

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-x/c) e^{i\omega t} dt = e^{i\omega x/c}$$

在行波的振幅衰减表达式中设 $x_0=0$，$A_0=1$，那么脉冲在耗散介质中的频谱为

$$exp(-\frac{\omega x}{2Q c}) exp(i\omega x/c)$$

转换为时间域的波形为

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} exp(-\frac{\omega x}{2Q c}) exp(i\omega x/c) e^{-i\omega t} d\omega = \frac{1}{\pi}\frac{\frac{x}{2cQ}}{(\frac{x}{2cQ})^2+(\frac{x}{c}-t)^2}$$

对于 $x$ 处的观测者，只有在脉冲传播 $x/c$ 时间之后才能观测到波。上式在 $t=0$ 时刻的波场快照显示，$x$ 观测点已经观测到波的存在，违反了因果律。由此可以推论，在耗散介质中如何要求地震波传播满足因果律，相速度就必须有频散。

理论和实验给出满足因果律的对数频散关系为

$$c(\omega) = c(\omega_0)(1+\frac{1}{\pi Q}ln\frac{\omega}{\omega_0})$$

对应原理

由于线性弹性介质和线性黏弹体的本构关系在频率域中具有相似性，所以地震波在两种介质中的相应量亦存在对应关系。

$$c^*=c(1-\frac{i}{2Q})$$

$$\frac{1}{c^*}=\frac{1}{c}(1+\frac{i}{2Q})$$

定义射线走时

$$T(\mathbf{x}) = \int_{ray} \frac{ds}{c}$$

根据对应原理，对速度 $c$ 做相应置换得到

$$T^*(\mathbf{x}) = \int_{ray} \frac{ds}{c}+i\frac{1}{2}\int_{ray} \frac{ds}{cQ}$$

定义

$$T_r=\int_{ray} \frac{ds}{c},\quad t^*=\int_{ray} \frac{ds}{cQ}$$

则

$$T^* = T_r + i\frac{1}{2}t^*$$

代入射线位移场表达式有

$$\mathbf{u}(\mathbf{x},t) = \mathbf{A}(\mathbf{x})\exp\left[-i\omega (t-T^*)\right] = \mathbf{A}(\mathbf{x})\exp\left(-\frac{1}{2}\omega t^*\right)\exp\left[-i\omega(t-T_r)\right]$$

上式表明，线性黏弹体介质对射线振幅的衰减效应由 $t^*$ 表征。

注

综合考虑：

• 射线的几何扩散
• 速度间断面的反/透射系数
• 射线的焦散
• 介质的本征衰减 得到射线振幅的一般表达式为

$$A_2 = A_1 (-i)^{\mathrm{KMAH}}\{RT\}\sqrt{\frac{c_1\rho_1}{c_2\rho_2}\bigg|\frac{ds_1}{ds_2}\bigg|} \exp\left(-\frac{1}{2}\omega t^*\right)$$

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