波动方程的解

标量波动方程

标量波动方程，也称声波方程或波动方程，是描述标量场（如声压等）随时间和空间传播的基本方程。一般形式为

$$\nabla^2 P - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 P}{\partial t^2} = -f(\mathbf{r}, t)$$

其中 $P$ 是标量场，$c$ 是波速，$f(\mathbf{r}, t)$ 是源项。

获取标量波动方程的通解的方法有很多，下面仅以分离变量法求解一维齐次标量波动方程为例。

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0$$

设 $u(x,t) = X(x)T(t)$，将其代入波动方程，得到

$$c^2 \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} \frac{1}{X}= \frac{\partial^2 T}{\partial t^2} \frac{1}{T} = - \omega^2$$

注

由于当前情境下没有边界条件和初始条件，分离常数可以是任何实数。

当分离常数大于 0 为 $\lambda^2$ 时，有

$$X(x)=A_1 e^{\lambda x} + A_2 e^{-\lambda x}$$

$$T(t)=B_1 e^{\lambda c t} + B_2 e^{-\lambda c t}$$

当分离常数等于 0 时，有

$$X(x)=A_1 + A_2 x$$

$$T(t)=B_1 + B_2 t$$

鉴于我们目前讨论的是无界空间中的波动问题，为简化分析，我们忽略这两种情况。后续的方程同理。

分别解得 $X_\omega(x)$ 和 $T_\omega(t)$ 的通解

$$X_\omega(x) = A_1 e^{i k x} + A_2 e^{-i k x}$$

$$T_\omega(t) = B_1 e^{i kc t} + B_2 e^{-i kc t}$$

其中 $k = \omega / c$ 为波数，$A_1, A_2, B_1, B_2$ 为待定复常数。

$$\begin{aligned} u(x,t) &= \int_{0}^{\infty} X_\omega(x) T_\omega(t) d\omega \\ &= \int_{0}^{\infty} \left[ A_1(\omega) e^{i k x} + A_2(\omega) e^{-i k x} \right] \left[ B_1(\omega) e^{i kc t} + B_2(\omega) e^{-i kc t} \right] d\omega \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ C_1(k) e^{i k (ct - x)} + C_2(k) e^{i k (ct + x)} \right] dk \end{aligned}$$

写成复数解形式为

$$\tilde{u}(x,t) = \int_{0}^{+\infty} \left[ A_k e^{i( \omega t - k x)} + B_k e^{i( \omega t + k x)} \right] dk$$

其中 $A_k, B_k$ 是复振幅。

行波解理论

在一维无界空间中，任何波动都可以分解为两个沿相反方向传播、且形状保持不变的波的叠加。这个结论通常被称为达朗贝尔公式:

$$u(x,t) = f(ct - x) + g(ct + x)$$

矢量波动方程

矢量波动方程，也称弹性波动方程或纳维尔方程，是描述矢量场（如位移、速度等）随时间和空间传播的基本方程。一般形式为

$$(\lambda + 2 \mu) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf{u}) + \mathbf{f} = \rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2}$$

考虑齐次矢量波动方程

$$(\lambda + 2 \mu) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf{u}) = \rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2}$$

通过亥姆霍兹定理引入势函数

$$\mathbf{u} = \nabla \phi + \nabla \times \Psi , \quad \nabla \cdot \Psi = 0$$

亥姆霍兹定理

任何一个在无限空间中满足适当数学条件（即物理上合理、在无穷远处衰减足够快）的矢量场 $\mathbf{F}$，都可以唯一地分解为两个部分的叠加：

• 一个无旋场：该部分的旋度为零，它可以用一个标量势函数 $\phi$ 的梯度来表示。这个部分由矢量场的散度（源）决定。

• 一个无散场：该部分的散度为零，它可以用一个矢量势函数 $\mathbf{A}$ 的旋度来表示。这个部分由矢量场的旋度（涡旋源）决定。

将势函数代入齐次矢量波动方程，得到两组独立的方程

$$\nabla^2 \phi - \frac{1}{\alpha^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = 0 , \quad \alpha = \sqrt{\frac{\lambda + 2 \mu}{\rho}}$$

$$\nabla^2 \Psi - \frac{1}{\beta^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} = 0 , \quad \beta = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}, \quad \nabla \cdot \Psi = 0$$

由此可见，矢量波动方程实际上隐含了两种不同类型的波，分别对应于 $\nabla \phi$ 和 $\nabla \times \Psi$，我们将其称之为纵波 (Primary Wave) 和横波 (Secondary Wave)，简称 P 波和 S 波。P 波的传播速度通常大于 S 波，因此在地震记录中总是先到达。

纵波方程

对于 P 波，势函数 $\phi$ 满足标量波动方程，可以通过分离变量法求解。

$$\phi(x,y,z,t) = X(x) Y(y) Z(z) T(t)$$

$$T_\omega(t) = A_1 e^{i \omega t} + A_2 e^{-i \omega t}$$

$$X_{k_x}(x) = B_1 e^{i k_x x} + B_2 e^{-i k_x x} , \quad Y_{k_y}(y) = C_1 e^{i k_y y} + C_2 e^{-i k_y y} , \quad Z_{k_z}(z) = D_1 e^{i k_z z} + D_2 e^{-i k_z z}$$

其中 $k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \omega^2 / \alpha^2 = k^2$，$k_x, k_y, k_z,\omega > 0$，$A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2, D_1, D_2$ 为待定复常数。

注意 $\omega$ 和 $k_x, k_y, k_z$ 取值的任意性，整合后得到势函数 $\phi$ 通解形式为

$$\begin{aligned} \phi(\mathbf{r},t) &= \int_{0}^{\infty} \int_{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = k^2} X_{k_x}(x) Y_{k_y}(y) Z_{k_z}(z) T_\omega(t) dk_x dk_y dk_z d\omega \\ &= \int_{0}^{\infty} T_\omega(t) d\omega \int_{|\mathbf{k}|=k} C(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d\mathbf{k} \\ &= \int_{\mathbf{k}} \left[A(\mathbf{k}) e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} + B(\mathbf{k}) e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}+\omega t)} \right] d\mathbf{k} \end{aligned}$$

写成复数形式为

$$\tilde{\phi}(\mathbf{r},t) = \int_{\mathbf{k}} A_{\mathbf{k}} e^{i (\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} d\mathbf{k}$$

可见 $\tilde{\phi}$ 实际上是不同方向不同频率的平面波的叠加。将其代入表达式，得到 P 波的形式为

$$\tilde{\mathbf{u}}_P = \int \nabla \tilde{\phi}_{\mathbf{k}} = \int -i \mathbf{k} \tilde{\phi}_{\mathbf{k}}$$

即 P 波的振动方向与传播方向相同。

横波方程

对于 S 波，势函数 $\Psi$ 满足矢量形式的标量波动方程和无散条件，可以通过相同方法求解。

$$\Psi(\mathbf{r},t) = \int_{\mathbf{k}} \left[\mathbf{A}(\mathbf{k}) e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} + \mathbf{B}(\mathbf{k}) e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}+\omega t)} \right] d\mathbf{k}$$

$$\tilde{\Psi}(\mathbf{r},t) = \int_{\mathbf{k}} \mathbf{A}_{\mathbf{k}} e^{i (\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} d\mathbf{k}$$

代入无散条件 $\nabla \cdot \tilde{\Psi} = 0$，得到

$$\mathbf{k} \cdot \mathbf{A}_{\mathbf{k}} = 0$$

$$\tilde{\mathbf{u}}_S = \int \nabla \times \tilde{\Psi}_{\mathbf{k}} = \int -i \mathbf{k} \times \tilde{\Psi}_{\mathbf{k}}$$

即 S 波的振动方向与传播方向垂直。

汉森矢量

汉森矢量是求解矢量亥姆霍兹方程的有力工具，它利用标量亥姆霍兹方程的解，构造出满足矢量方程的解。

亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程是描述波动现象空间分布的二阶椭圆型偏微分方程，其基本形式为

$$\nabla^2 A + k^2 A = 0$$

设 $A(\mathbf{r})$ 是一个标量函数,它满足亥姆霍兹方程

$$\nabla^2 A + k^2 A = 0$$

那么基于标量函数 $A$ 和常矢量 $\mathbf{a}$ 可以构造出三个线性无关的矢量函数，称为汉森矢量:

$$\mathbf{L} = \frac{1}{k} \nabla A$$

$$\mathbf{M} = \nabla \times (\mathbf{a}A)$$

$$\mathbf{N} = \frac{1}{k} \nabla \times \nabla \times (\mathbf{a}A)$$

注意

汉森矢量的系数有什么特殊意义？

它们相互独立且均满足矢量亥姆霍兹方程，$\mathbf{L}$ 是无旋场，$\mathbf{M}$ 和 $\mathbf{N}$ 是无散场。

对于弹性波动方程，我们可以利用汉森矢量表示 P 波和 S 波。

对两组由矢量波动方程得到的独立方程作傅里叶变换，得到频域下的两个方程

$$\nabla^2 \phi + k_P^2 \phi = 0 , \quad k_P = \omega / \alpha$$

$$\nabla^2 \Psi + k_S^2 \Psi = 0 , \quad k_S = \omega / \beta$$

经过验证发现，$\mathbf{u}_P$ 和 $\mathbf{u}_S$ 在频域下也满足它们势函数对应的亥姆霍兹方程，即

$$\nabla^2 \mathbf{u}_P + k_P^2 \mathbf{u}_P = 0$$

$$\nabla^2 \mathbf{u}_S + k_S^2 \mathbf{u}_S = 0$$

为了求解这两个矢量亥姆霍兹方程，我们引入两个标量函数 $\phi$ 和 $\psi$，满足

$$\nabla^2 \phi + k_P^2 \phi = 0$$

$$\nabla^2 \psi + k_S^2 \psi = 0$$

结合汉森矢量的性质，可以得到

$$\mathbf{u}_P = \mathbf{L}_P=\frac{1}{k_P} \nabla \phi$$

$$\mathbf{u}_{SH} = \mathbf{M}_S = \nabla \times (\mathbf{a} \psi)$$

$$\mathbf{u}_{SV} = \mathbf{N}_S = \frac{1}{k_S} \nabla \times \nabla \times (\mathbf{a} \psi)$$

通常在直角坐标系和柱坐标系中取 $\mathbf{a} = \hat{z}$，在球坐标系中取 $\mathbf{a} = \hat{r}$。这样将 S 波分解为两种偏振方向的波，分别称为 SH 波（水平偏振波，对应 $\mathbf{M}_S$）和 SV 波（垂直偏振波，对应 $\mathbf{N}_S$）。

地震图的坐标变换

一般地震仪记录时选定的坐标为东西向东为正，南北向北为正，上下向上为正，同时记录三个方向上的时间序列，合成一个地面运动的时空图像。

由于地震波的偏振特性，水平记录经过坐标变换之后能更好的地显示偏振特征，以便于震相的识别。新的水平坐标由 R 轴和 T 轴组成，R 轴为震中与地震仪的连线，T 轴通过地震仪并垂直于 R 轴。

由于 P 波的偏振与传播方向相同，在 R-T-Z 坐标系下它既有垂向的 Z 分量也有径向的 R 分量，SV 波也是如此。而 SH 波的偏振为水平横向，所以它只有 T 分量。

上图是一个实测地震图在 R-T-Z 坐标系下的图像，可以看到 P 波在 T 方向几乎没有能量，SH 波在 T 方向显示清晰的初动。P 波的 Z 分量大于 R 分量，表明射线入射的角度较小（射线与垂直方向的夹角）。SV 波的振幅特性刚好与 P 波相反。

也可以使用 ObsPy 拉取地震数据并进行坐标变换。

以下是一段示例代码，从 IRIS 下载 2013 Okhotsk Sea 地震的波形数据，并将水平分量从 N/E 旋转到 R/T：

"""
Download real waveform data from IRIS and 
rotate NE -> RT for the 2013 Okhotsk Sea earthquake.

Requirements:
    pip install obspy
"""

from typing import Optional, Tuple

from obspy import UTCDateTime
from obspy.clients.fdsn import Client
from obspy.geodetics.base import gps2dist_azimuth


def _pick_event_near_time(catalog, origin_time: UTCDateTime):
    """Pick the event whose origin time is closest to origin_time."""
    if not catalog or len(catalog) == 0:
        raise RuntimeError("No events returned from FDSN event service.")

    def _event_time_delta_seconds(event) -> float:
        origin = event.preferred_origin() or (
            event.origins[0] if event.origins else None
        )
        if origin is None or origin.time is None:
            return float("inf")
        return float(abs(origin.time - origin_time))

    return min(catalog, key=_event_time_delta_seconds)


def _get_event_lat_lon(
    origin_time: UTCDateTime,
) -> Tuple[float, float, Optional[float], str]:
    """Fetch event metadata around origin_time.

    Returns (lat, lon, depth_km, summary).
    """
    # USGS is a reliable FDSN event provider; fall back to EarthScope if needed.
    event_clients = [Client("USGS"), Client("EARTHSCOPE")]
    last_error: Optional[Exception] = None

    for event_client in event_clients:
        try:
            cat = event_client.get_events(
                starttime=origin_time - 15 * 60,
                endtime=origin_time + 15 * 60,
                minmagnitude=7.0,
                includearrivals=False,
            )
            event = _pick_event_near_time(cat, origin_time)
            origin = event.preferred_origin() or (
                event.origins[0] if event.origins else None
            )
            if origin is None:
                raise RuntimeError("Selected event has no origin information.")

            depth_km: Optional[float] = None
            if origin.depth is not None:
                depth_km = float(origin.depth) / 1000.0

            magnitude = event.preferred_magnitude() or (
                event.magnitudes[0] if event.magnitudes else None
            )
            mag_str = (
                f"M{magnitude.mag:.1f}"
                if (magnitude and magnitude.mag is not None)
                else "M?"
            )
            summary = f"{mag_str} @ {origin.time.isoformat()}"

            return float(origin.latitude), float(origin.longitude), depth_km, summary
        except Exception as exc:  # keep robust across providers
            last_error = exc

    raise RuntimeError(
        "Failed to fetch event metadata from FDSN providers: "
        f"{last_error}"
    )


def _get_station_lat_lon(
    client: Client,
    network: str,
    station: str,
    location: str,
    channel: str,
    t_start: UTCDateTime,
    t_end: UTCDateTime,
) -> Tuple[float, float, float, str]:
    """Fetch station metadata and return (lat, lon, elevation_m, site_name)."""
    inv = client.get_stations(
        network=network,
        station=station,
        location=location,
        channel=channel,
        starttime=t_start,
        endtime=t_end,
        level="station",
    )

    if len(inv.networks) == 0 or len(inv.networks[0].stations) == 0:
        raise RuntimeError("Station metadata returned no stations.")

    sta = inv.networks[0].stations[0]
    site_name = sta.site.name if getattr(sta, "site", None) else ""
    return float(sta.latitude), float(sta.longitude), float(sta.elevation), site_name


def main() -> None:
    # -------------------------------
    # Event / station parameters
    # -------------------------------
    origin_time = UTCDateTime("2013-05-24T05:44:49")  # UTC
    t_start = origin_time
    t_end = origin_time + 30 * 60  # 30 minutes

    network = "II"
    station = "BFO"
    channel = "BH?"  # BHZ, BHN, BHE
    location = "*"

    # -------------------------------
    # 0) Download metadata + compute azimuth/back_azimuth
    # -------------------------------
    data_client = Client("EARTHSCOPE")

    ev_lat, ev_lon, ev_depth_km, ev_summary = _get_event_lat_lon(origin_time)
    st_lat, st_lon, st_elev_m, st_site = _get_station_lat_lon(
        client=data_client,
        network=network,
        station=station,
        location=location,
        channel=channel,
        t_start=t_start,
        t_end=t_end,
    )

    # gps2dist_azimuth(lat1, lon1, lat2, lon2) returns:
    #   distance_m, az12 (from 1->2), az21 (from 2->1)
    # If point1=event and point2=station, az21 is the back-azimuth at station
    # (station->event).
    distance_m, az_ev_to_st, baz_st_to_ev = gps2dist_azimuth(
        ev_lat,
        ev_lon,
        st_lat,
        st_lon,
    )
    azimuth = float(az_ev_to_st)
    back_azimuth = float(baz_st_to_ev)

    print("Metadata:")
    print(
        f"  Event:   lat={ev_lat:.4f}, lon={ev_lon:.4f}, "
        f"depth_km={ev_depth_km}, {ev_summary}"
    )
    print(
        f"  Station: lat={st_lat:.4f}, lon={st_lon:.4f}, "
        f"elev_m={st_elev_m:.1f}, site='{st_site}'"
    )
    print(f"  Distance: {distance_m/1000.0:.1f} km")
    print(f"  Azimuth (event->station): {azimuth:.2f}°")
    print(f"  Back-azimuth (station->event): {back_azimuth:.2f}°")

    # -------------------------------
    # 1) Download waveforms
    # -------------------------------
    st = data_client.get_waveforms(
        network=network,
        station=station,
        channel=channel,
        location=location,
        starttime=t_start,
        endtime=t_end,
        attach_response=False,
    )

    print(
        f"Downloaded {len(st)} traces for {network}.{station} "
        f"from {t_start} to {t_end}"
    )
    print(st)

    # Keep a copy for the "before" plot
    st_before = st.copy()

    # -------------------------------
    # 4) Plot before rotation (Z, N, E)
    # -------------------------------
    st_before.plot(
        equal_scale=False,
        size=(1000, 600),
    )

    # -------------------------------
    # 2) Basic preprocessing
    # -------------------------------
    st.detrend("demean")
    st.detrend("linear")
    st.filter("bandpass", freqmin=0.01, freqmax=0.5)

    # -------------------------------
    # 3) Rotate N/E -> R/T
    # -------------------------------
    # Requires N and E components to be present (BHN/BHE). Z is kept as-is.
    st.rotate("NE->RT", back_azimuth=back_azimuth)

    # -------------------------------
    # 4) Plot after rotation (Z, R, T)
    # -------------------------------
    st.plot(
        equal_scale=False,
        size=(1000, 600),
    )


if __name__ == "__main__":
    main()

得到 N-E-Z 和 R-T-Z 坐标系下的波形图：

能流密度矢量

通过弹性介质力学，我们知道弹性介质的应变能密度或弹性势能函数可以表示为

$$W = \frac{1}{2} \varepsilon_{ij} \sigma_{ij}$$

但介质形变的过程不是准静态的，由于介质的形变运动，能量会在介质中转移，我们可以通过能量守恒来引入一个描述能量流动的物理量，称为能流密度矢量。

将弹性动力学方程与速度作点积，有

$$\frac{1}{2} \rho \frac{\partial \dot{\mathbf{u}}^2}{\partial t} = (\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \cdot \dot{\mathbf{u}} + \mathbf{f} \cdot \dot{\mathbf{u}}$$

利用

$$(\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \cdot \dot{\mathbf{u}} = \nabla \cdot (\dot{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\sigma}) - \boldsymbol{\sigma} : \nabla \dot{\mathbf{u}}$$

代入上式，得到

$$\frac{1}{2} \rho \frac{\partial \dot{\mathbf{u}}^2}{\partial t} + \boldsymbol{\sigma} : \nabla \dot{\mathbf{u}} = \nabla \cdot (\dot{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\sigma}) + \mathbf{f} \cdot \dot{\mathbf{u}}$$

又由于

$$\boldsymbol{\sigma} : \nabla \dot{\mathbf{u}} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{\varepsilon}: \boldsymbol{\sigma}) = \frac{\partial W}{\partial t}$$

代入上式，对整体积分，得到

$$\frac{d}{dt} \int_V \left( \frac{1}{2} \rho \dot{\mathbf{u}}^2 + W \right) dV = \int_V \mathbf{f} \cdot \dot{\mathbf{u}} dV + \int_{\partial V} (\boldsymbol{\sigma} \cdot \dot{\mathbf{u}} ) \cdot d\mathbf{S}$$

定义能流密度矢量为

$$\mathbf{J} = - \boldsymbol{\sigma} \cdot \dot{\mathbf{u}}$$

表示单位时间内通过垂直单位面积的能量，其方向为能量流动方向。

平面波的能量

为了使推导过程更加直观，我们巧妙地选取坐标系，令 $x_1$ 轴与平面波的传播方向一致。此时，波数矢量退化为一维 $\mathbf{k} = (k, 0, 0)$，波的相位仅依赖于 $(x_1, t)$。因此，所有物理量对 $x_2$ 和 $x_3$ 的偏导数均为零。

P 波的能量和能流密度

P 波的质点振动方向与传播方向一致，因此位移仅在 $x_1$ 方向有分量。

$$\mathbf{u} = (u_1, 0, 0),\quad u_1=A \cos(\omega t - k_p x_1 + \phi)$$

动能密度为

$$T_p = \frac{1}{2} \rho \dot{\mathbf{u}}^2 = \frac{1}{2} \rho A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t - k_p x_1 + \phi)$$

势能密度为

$$\begin{aligned} W_p &=\frac{1}{2} \varepsilon_{ij} \sigma_{ij} = \frac{1}{2} \varepsilon_{11} \sigma_{11} \\ &=\frac{1}{2} (\lambda + 2\mu) A^2 k_p^2 \sin^2(\omega t - k_p x_1 + \phi) \\ &=\frac{1}{2} \rho A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t - k_p x_1 + \phi) \end{aligned}$$

我们发现动能密度等于势能密度（$T_p = W_p$）。因此时间平均总能量密度为

$$\langle E_p \rangle = \langle T_p \rangle + \langle W_p \rangle = \frac{1}{2} \rho A^2 \omega^2$$

同时也容易知道 P 波的能流密度仅在 $x_1$ 方向有分量，为

$$\begin{aligned} S_1 &= -\sigma_{11} \dot{u}_1 \\ &= -(\lambda + 2\mu) \varepsilon_{11} \dot{u}_1 \\ &= \rho \omega^2 A^2 v_p \sin^2(\omega t - k_p x_1 + \phi) \end{aligned}$$

$$\langle S_1 \rangle = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 v_p = \langle E_p \rangle v_p$$

S 波的能量和能流密度

S 波的质点振动方向垂直于传播方向，不妨取 $x_2$ 方向为偏振方向。

$$\mathbf{u} = (0, u_2, 0),\quad u_2=A \cos(\omega t - k_s x_1 + \phi)$$

动能密度为

$$T_s = \frac{1}{2} \rho \dot{\mathbf{u}}^2 = \frac{1}{2} \rho A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t - k_s x_1 + \phi)$$

势能密度为

$$\begin{aligned} W_s &=\frac{1}{2} \varepsilon_{ij} \sigma_{ij} = \frac{1}{2} \varepsilon_{12} \sigma_{12} \\ &=\frac{1}{2} \mu A^2 k_s^2 \sin^2(\omega t - k_s x_1 + \phi) \\ &=\frac{1}{2} \rho A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t - k_s x_1 + \phi) \end{aligned}$$

可以发现 S 波的动能密度同样等于势能密度（$T_s = W_s$）。

$$\langle E_s \rangle = \langle T_s \rangle + \langle W_s \rangle = \frac{1}{2} \rho A^2 \omega^2$$

同样我们分析知道 S 波的能流密度仅在 $x_1$ 方向有分量，为

$$\begin{aligned} S_1 &= -\sigma_{12} \dot{u}_2 \\ &= -\mu \varepsilon_{12} \dot{u}_2 \\ &= \rho \omega^2 A^2 v_s \sin^2(\omega t - k_s x_1 + \phi) \end{aligned}$$

$$\langle S_1 \rangle = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 v_s = \langle E_s \rangle v_s$$

总结

• 无论是纵波还是横波，瞬时动能密度始终等于瞬时势能密度：$T=W$。
• 平均能量密度仅依赖于介质密度、角频率和振幅：$\langle E \rangle = \frac{1}{2} \rho A^2 \omega^2$。
• 平均能流密度等于平均能量密度乘以波速：$\langle S \rangle = \langle E \rangle v$。

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