当物体内部密度分布未知时，无法直接通过体积分求得引力位。但在无质量区域，引力位满足 Laplace 方程，因此可以利用控制方程和边界上的已知信息确定区域内的位，这类问题称为边值问题。

边值问题的基本组成

一个完整的边值问题通常由控制方程、边界、边界条件和必要的附加条件组成。

控制方程

对于无质量区域，引力位 $V$ 满足 Laplace 方程：

$$\nabla^2V=0$$

如果研究区域内存在质量，则满足 Poisson 方程：

$$\nabla^2V=-4\pi G\rho$$

边值问题主要研究满足给定微分方程，同时满足特定边界条件的解。

边界

设研究区域为 $R$，其边界为闭合曲面 $S$。

边界将空间划分为：

• $S$ 内部的有限区域；
• $S$ 外部延伸至无穷远的区域。

内部边值问题：求边界 $S$ 所包围区域内部的位函数。

外部边值问题：求边界 $S$ 外部空间中的位函数。

边界条件

边界条件是在边界 $S$ 上对位函数 $V$ 或其法向导数施加的条件。

一般可以写成

$$\alpha\frac{\partial V}{\partial n}+\beta V=f$$

其中 $\partial V/\partial n$ 表示沿边界外法线方向的导数，$f$ 为边界上的已知函数。

附加条件

仅给出控制方程和边界条件有时还不足以确定物理解，还需要满足一定的附加条件，例如：

• 有界性；
• 周期性；
• 连续性；
• 界面衔接条件；
• 无穷远处的正则性。

对于外部引力位问题，通常要求

$$V\rightarrow0,\qquad r\rightarrow\infty$$

以排除非物理的解。

边界条件

第一类：Dirichlet

给定边界上的位值：

$$V|_S=f$$

即已知整个边界上的 $V$，求区域内或区域外的位函数。

第二类：Neumann

给定边界上的法向导数：

$$\left.\frac{\partial V}{\partial n}\right|_S=f$$

由于

$$\mathbf F=\nabla V$$

所以 $\partial V/\partial n$ 实际上给出了引力在边界法线方向上的分量。

内部 Neumann 问题还必须满足相容条件。若 $V$ 在 $R$ 内调和，则

$$\iiint_R\nabla^2V\,d\tau=0$$

由 Gauss 定理：

$$\iint_S\frac{\partial V}{\partial n}\,dS=0$$

因此给定的法向导数必须满足

$$\iint_S f\,dS=0$$

才可能存在调和解。

第三类：Robin

同时给定位和法向导数的线性组合：

$$\alpha\frac{\partial V}{\partial n} +\beta V =f$$

其中 $\alpha$、$\beta$ 均为给定系数。

Dirichlet 和 Neumann 条件都可以看作 Robin 条件的特殊情况：

$$\alpha=0$$

时为 Dirichlet 条件；

$$\beta=0$$

时为 Neumann 条件。

解的存在性与唯一性

边值问题需要讨论两个基本问题：

存在性：是否存在满足控制方程和所有边界条件的解。

唯一性：若解存在，它是否只有一个。

唯一性理论的基本方法是：假设存在两个解 $V_1$、$V_2$，令

$$U=V_1-V_2$$

由于方程是线性的，$U$ 仍满足

$$\nabla^2U=0$$

同时满足相应的齐次边界条件。若能证明 $U=0$，则有

$$V_1=V_2$$

从而证明解唯一。

Green 公式

设区域 $R$ 的边界为 $S$，$U$、$V$ 在区域内具有足够的连续可微性。

第一 Green 公式

$$\boxed{ \iiint_R \left( \nabla U\cdot\nabla V + V\nabla^2U \right)d\tau = \iint_S V\frac{\partial U}{\partial n}\,dS }$$

它将区域内部的积分与边界上的函数值、法向导数联系起来。

令 $V=U$，则

$$\iiint_R \left( |\nabla U|^2 + U\nabla^2U \right)d\tau = \iint_S U\frac{\partial U}{\partial n}\,dS$$

若 $U$ 为调和函数，则

$$\iiint_R|\nabla U|^2d\tau = \iint_S U\frac{\partial U}{\partial n}dS$$

第二 Green 公式

$$\boxed{ \iiint_R \left( U\nabla^2V - V\nabla^2U \right)d\tau = \iint_S \left( U\frac{\partial V}{\partial n} - V\frac{\partial U}{\partial n} \right)dS }$$

质体内部的重力位 $W$ 满足

$$\nabla^2W=-4\pi G\rho+2\omega^2$$

设某个闭合重力等位面 $S$ 包围整个质体，其内部区域体积为 $\Omega$。对整个区域积分：

$$\iiint_{\Omega}\nabla^2W\,d\Omega = -4\pi G\iiint_{\Omega}\rho\,d\Omega + 2\omega^2\Omega$$

因此

$$\iiint_{\Omega}\nabla^2W\,d\Omega = -4\pi GM+2\omega^2\Omega$$

在第二 Green 公式中取 $U=1$、$V=W$，有

$$\iiint_{\Omega}\nabla^2W\,d\Omega = \iint_S\frac{\partial W}{\partial n}\,dS$$

所以

$$-\iint_Sg\,dS = -4\pi GM+2\omega^2\Omega$$

整理得到

$$\boxed{ M= \frac{1}{4\pi G}\iint_Sg\,dS + \frac{\omega^2}{2\pi G}\Omega }$$

因此，闭合重力等位面上的重力积分与其包围的总体积、总质量和自转角速度有关，而与内部具体的质量分布无关。

第三 Green 公式

第三 Green 公式是在第二 Green 公式的基础上，取其中一个函数为基本解 $1/l$ 得到的。

设：

• $P$ 为需要求位值的场点；
• $Q$ 为积分过程中的动点，可位于区域内部或边界 $S$ 上；
• $l$ 为 $P$、$Q$ 两点之间的距离：

其中 $P$ 固定，而 $Q$ 随积分位置变化。

取

$$U=\frac{1}{l}$$

对于 $Q\neq P$，

$$\nabla^2\frac{1}{l}=0$$

将 $U=1/l$ 代入第二 Green 公式，如果 $P$ 在区域 $R$ 外部，由于区域内不存在奇点，直接有

$$\iiint_R \frac{1}{l}\nabla^2V\,d\tau = \iint_S \left( \frac{1}{l}\frac{\partial V}{\partial n} - V\frac{\partial}{\partial n}\frac{1}{l} \right)dS$$

如果 $P$ 位于 $R$ 内部，则 $1/l$ 在 $P$ 点存在奇点，于是得到

$$4\pi V(P) = \iint_S \left[ V(Q)\frac{\partial}{\partial n} \left(\frac{1}{l}\right) - \frac{1}{l} \frac{\partial V(Q)}{\partial n} \right]dS - \iiint_R \frac{1}{l}\nabla^2V\,d\tau$$

若 $V$ 在区域 $R$ 内为调和函数，即

$$\nabla^2V=0$$

则

$$V(P) = \frac{1}{4\pi} \iint_S \left[ V(Q)\frac{\partial}{\partial n} \left(\frac{1}{l}\right) - \frac{1}{l}\frac{\partial V(Q)}{\partial n} \right]dS$$

这说明：区域内部一点 $P$ 的位值，可以完全由边界 $S$ 上的位 $V(Q)$ 和法向导数 $\partial V/\partial n$ 确定。

根据场点 $P$ 的位置，Green 第三公式中的系数可统一写为

$$\boxed{ p_iV(P) = \iint_S \left[ V(Q)\frac{\partial}{\partial n} \left(\frac{1}{l}\right) - \frac{1}{l}\frac{\partial V(Q)}{\partial n} \right]dS - \iiint_R \frac{1}{l}\nabla^2V\,d\tau}$$

其中

$$p_i= \begin{cases} 4\pi, & P\text{位于}R\text{内部}\\ 2\pi, & P\text{位于光边界}S\text{上}\\ 0, & P\text{位于}R\text{外部} \end{cases}$$

唯一性理论

Dirichlet 条件

假设 $V_1$、$V_2$ 是同一个 Dirichlet 问题的两个解，令

$$U=V_1-V_2$$

则

$$\nabla^2U=0$$

并且边界上

$$U|_S=0$$

根据第一 Green 公式，

$$\iiint_R|\nabla U|^2d\tau=0$$

因此

$$\nabla U=0$$

进而

$$U=0$$

所以

$$\boxed{V_1=V_2}$$

即 Dirichlet 内部问题具有唯一解。

对于外部问题，还需要满足适当的无穷远条件，此时解也唯一。

Neumann 条件

若 $V_1$、$V_2$ 满足相同的 Neumann 条件，则

$$\left. \frac{\partial U}{\partial n} \right|_S =0$$

由第一 Green 公式：

$$\iiint_R|\nabla U|^2d\tau=0$$

因此

$$\nabla U=0$$

所以

$$U=C$$

即

$$\boxed{ V_1=V_2+C }$$

因此 Neumann 内部问题的解只确定到一个加法常数。

对于外部问题，由无穷远处的正则条件可以确定该常数，因此外部 Neumann 问题可具有唯一解。

Robin 条件

对于齐次 Robin 条件

$$\alpha\frac{\partial U}{\partial n}+\beta U=0$$

可写为

$$\frac{\partial U}{\partial n} = -\frac{\beta}{\alpha}U$$

代入第一 Green 公式：

$$\iiint_R|\nabla U|^2d\tau = -\frac{\beta}{\alpha} \iint_SU^2dS$$

因此 Robin 问题的唯一性与 $\alpha$、$\beta$ 的符号以及所研究的是内部问题还是外部问题有关。

相应的唯一性关系可整理为：

边界条件	内部问题	外部问题
Dirichlet	唯一	唯一，需要无穷远条件
Neumann	相差一个常数	唯一，需要正则条件
Robin，$\alpha\beta>0$	唯一	不一定唯一
Robin，$\alpha\beta<0$	不一定唯一	唯一

Stokes 问题

已知一个物体的

• 总质量 $M$；
• 固定的自转轴和角速度 $\omega$；
• 外部某一重力等位面 $\Sigma$ 的形状；

求该物体在等位面上及其外部空间中的重力位。

其关键在于：不需要知道物体内部具体的密度分布，也可以唯一确定外部重力位。

Stokes 定理

设闭合重力等位面 $\Sigma$ 包围物体的全部质量，外部不存在质量源。若已知：

• $\Sigma$ 的形状；
• 物体总质量 $M$；
• 固定的自转轴和角速度 $\omega$；

则在适当的光滑性和正则条件下，$\Sigma$ 上及其外部空间中的重力位 $W$ 被唯一确定。

需要注意，该定理确定的是外部重力位，并不能唯一确定物体内部的密度分布。

---

假设存在两个满足相同条件的重力位

$$W_1=V_1+Q$$

$$W_2=V_2+Q$$

由于两种情况的自转轴和角速度相同，离心力位 $Q$ 相同。

令

$$T=W_1-W_2=V_1-V_2$$

在 $\Sigma$ 外部没有质量，因此

$$\nabla^2T=0$$

又因为 $\Sigma$ 对两种重力场都是重力等位面，

$$W_1|_\Sigma=C_1$$

$$W_2|_\Sigma=C_2$$

所以

$$T|_\Sigma=C_1-C_2=C$$

为常数。

由前面第二 Green 公式在重力位中的应用，

$$M= \frac{1}{4\pi G}\iint_\Sigma g\,dS + \frac{\omega^2}{2\pi G}\Omega$$

两个模型具有相同的 $M$、$\omega$ 和同一个等位面 $\Sigma$，因此其包围体积 $\Omega$ 也相同，从而

$$\iint_\Sigma g_1\,dS = \iint_\Sigma g_2\,dS$$

即

$$\iint_\Sigma \frac{\partial T}{\partial n}\,dS =0$$

再对外部区域使用第一 Green 公式。由于 $T=C$ 在 $\Sigma$ 上，

$$\iint_\Sigma T\frac{\partial T}{\partial n}\,dS = C \iint_\Sigma \frac{\partial T}{\partial n}\,dS =0$$

有限总质量和无穷远正则性使无穷远边界项趋于零，因此

$$\iiint_{\Sigma} |\nabla T|^2d\tau=0$$

于是

$$\nabla T=0$$

即 $T$ 在整个外部区域为常数。

又因为无穷远处

$$T(\infty)=0$$

所以

$$T\equiv0$$

从而

$$\boxed{W_1=W_2}$$

版权所有

版权归属：Staaaaaaaaar

许可证：署名-非商业性-相同方式共享 4.0 国际 (CC-BY-NC-SA-4.0)

编辑此页

贡献者: Staaaaaaaaar

上一页引力与重力

下一页边值问题的求解