对于无源区域，位函数满足 Laplace 方程：

$$\nabla^2V=0$$

求解边值问题的核心是：利用边界上的已知观测量确定区域内或外部空间中的调和函数。

格林函数法

设区域为 $R$，边界为 $S$，位函数满足

$$\nabla^2V=0$$

边界条件统一写为

$$\left. \left( \alpha\frac{\partial V}{\partial n} +\beta V \right) \right|_S=f$$

其中 $f$ 为边界观测值。

Green 第三公式虽然可以将 $V$ 表示成边界积分，但其中同时含有 $V$ 和 $\partial V/\partial n$：

$$4\pi V(P) = \iint_S \left[ V\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{l}\right) -\frac{1}{l}\frac{\partial V}{\partial n} \right]dS$$

实际边值问题通常只知道两者之一，因此不能直接求解。

格林函数法的基本思路是：

• 从已有的边界积分表示出发；
• 引入一个辅助调和函数 $U$；
• 构造新的函数 $G$；
• 使 $G$ 在边界上满足特定条件，从而消去未知边界项；
• 将“求 $V$”转化为“求满足特定边界条件的 $G$”。

定义

$$G=\frac{1}{l}-U$$

其中 $U$ 在区域内调和：

$$\nabla^2U=0$$

利用 Green 第二、第三公式，可以将 $V$ 写为

$$4\pi V(P) = \iint_S \left( V\frac{\partial G}{\partial n} -G\frac{\partial V}{\partial n} \right)dS$$

若选择 $G$ 在边界上满足

$$\alpha\frac{\partial G}{\partial n} +\beta G=0$$

则边界积分可以只保留已知的观测量 $f$。

当 $\beta\neq0$ 时，

$$G=-\frac{\alpha}{\beta}\frac{\partial G}{\partial n}$$

所以

$$\boxed{ V(P) = \frac{1}{4\pi\beta} \iint_S f\frac{\partial G}{\partial n}\,dS }$$

类似地，当 $\alpha\neq0$ 时，也可以写成只含 $G$ 与 $f$ 的形式。

因此，一旦求出了对应的 Green 函数 $G$，边界观测值 $f$ 就可以直接确定区域内的位函数。

第一类球边界问题：镜像法

第一类边界条件为

$$V|_S=f$$

此时 $\alpha=0$，因此需要构造满足

$$G|_S=0$$

的 Green 函数。

对于球形边界，可以利用镜像法构造 Green 函数。其思想是在区域外引入一个虚拟的镜像点，使真实点与镜像点产生的两个基本解在边界上恰好抵消。

设球面半径为 $R$，场点 $P$ 位于球内，距球心为 $r$。在 $OP$ 延长线上取镜像点 $P'$，满足

$$OP'=r_1=\frac{R^2}{r}$$

设边界点 $Q$ 到 $P$、$P'$ 的距离分别为 $l$、$l_1$，则球面上有相应的比例关系，可以构造

$$G = \frac{1}{l} -\frac{R}{r}\frac{1}{l_1}$$

使得在 $S$ 上

$$G=0$$

于是第一类问题只需要边界上的位值。

对于半径为 $R$ 的球内部，得到 Poisson 公式

$$\boxed{ V(P) = \frac{R^2-r^2}{4\pi R} \iint_S \frac{f(Q)}{l^3}\,dS }$$

它给出了球面上的已知位值与球内任一点位值之间的关系。

对于球外第一类边值问题，也可以通过对应的镜像构造得到外部 Poisson 公式

$$\boxed{ V(P) = \frac{r^2-R^2}{4\pi R} \iint_S \frac{f(Q)}{l^3}\,dS }$$

第二类球边界问题

第二类边界条件为

$$\left. \frac{\partial V}{\partial n} \right|_S=f$$

引入函数

$$F=r\frac{\partial V}{\partial n}=r\frac{\partial V}{\partial r}$$

由 $U$ 的调和性质知 $F$ 也调和，且

$$F|_S = Rf$$

故 $F$ 满足第一类球边界问题，可以得到

$$F(P) = \frac{R^2-r^2}{4\pi} \iint_S \frac{f(Q)}{l^3}\,dS$$

其中

$$l=\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos\psi}$$

积分可得

$$\boxed{ V(P) = V_0 + \frac{1}{4\pi} \iint_S \left[ \frac{2}{l} - \frac{1}{R} \ln \frac{R-r\cos\psi+l}{2R} \right] f(Q)\,dS }$$

分离变量法

球坐标中的 Laplace 方程为

$$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left( \sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial^2u}{\partial\lambda^2} =0$$

设变量可分离：

$$u(r,\theta,\lambda) = f(r)Y(\theta,\lambda)$$

再令

$$Y(\theta,\lambda)=g(\theta)h(\lambda)$$

即可分别得到径向、纬度和经度方向的常微分方程。

经度方向要求函数具有周期性，因此 $h(\lambda) = \cos m\lambda$ 或 $h(\lambda) = \sin m\lambda$，其中 $m=0,1,2,\cdots$。

角向方程的特征值为 $n(n+1)$，并要求 $0\leq m\leq n$，对应的角向解为连带 Legendre 函数 $P_{nm}(\cos\theta)$。

径向方程有两类解：$r^n$ 和 $\frac{1}{r^{n+1}}$

因此 Laplace 方程的球坐标通解可以写为

球内部问题：

$$\boxed{ u(r,\theta,\lambda) = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \sum_{m=0}^{n} \left[ a_{nm}\cos m\lambda + b_{nm}\sin m\lambda \right] P_{nm}(\cos\theta) }$$

球外部问题：

$$\boxed{ u(r,\theta,\lambda) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{r^{n+1}} \sum_{m=0}^{n} \left[ a_{nm}\cos m\lambda + b_{nm}\sin m\lambda \right] P_{nm}(\cos\theta) }$$

数理基础

球谐函数

$$Y_n(\theta,\lambda) = \sum_{m=0}^{n} \left[ a_{nm}\cos m\lambda + b_{nm}\sin m\lambda \right] P_{nm}(\cos\theta)$$

称为 $n$ 次面球谐函数。

$$r^nY_n(\theta,\lambda) ,\quad \frac{1}{r^{n+1}}Y_n(\theta,\lambda)$$

称为体球谐函数。

$$P_{n0}(\cos\theta)=P_n(\cos\theta)$$

称为带谐函数。

Legendre 多项式的正交性

$$\int_{-1}^{1} P_n(x)P_m(x)\,dx = \begin{cases} 0, & n\neq m \\ \dfrac{2}{2n+1}, & n=m \end{cases}$$

因此任意适当函数 $f(x)$ 可以展开为

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} C_nP_n(x)$$

其中

$$C_n = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x)P_n(x)\,dx$$

母函数

Legendre 多项式的母函数为

$$\frac{1}{\sqrt{1+t^2-2tx}} = \sum_{n=0}^{\infty} t^nP_n(x)$$

令 $x=\cos\psi$，可用于展开空间中两点距离的倒数。

例如当 $r\geq R$ 时，

$$\frac{1}{l} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{R^n}{r^{n+1}} P_n(\cos\psi)$$

这正是引力位球函数展开的基础。

面球谐函数的正交性

记

$$R_{nm}(\theta,\lambda) = \cos m\lambda\,P_{nm}(\cos\theta) ,\quad S_{nm}(\theta,\lambda) = \sin m\lambda\,P_{nm}(\cos\theta)$$

不同次数或阶数的球谐函数在单位球面上相互正交。

采用适当的规格化后，可令

$$\frac{1}{4\pi} \iint_\sigma \overline{R}_{nm}^2\,d\sigma =\frac{1}{4\pi} \iint_\sigma \overline{S}_{nm}^2\,d\sigma =1$$

而不同球谐函数之间的积分为零。

因此，球面上的函数可以展开为

$$f(\theta,\lambda) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{n} \left[ \overline A_{nm}\overline R_{nm} + \overline B_{nm}\overline S_{nm} \right]$$

规格化后系数可以直接通过球面积分得到：

$$\overline A_{nm} = \frac{1}{4\pi} \iint_\sigma f\,\overline R_{nm}\,d\sigma ,\quad \overline B_{nm} = \frac{1}{4\pi} \iint_\sigma f\,\overline S_{nm}\,d\sigma$$

加法公式

设单位球面上两点分别为 $P(\theta,\lambda)$ 和 $Q(\theta_1,\lambda_1)$，两点对应的地心夹角为 $\psi$，则

$$\cos\psi = \cos\theta\cos\theta_1 + \sin\theta\sin\theta_1 \cos(\lambda-\lambda_1)$$

Legendre 多项式满足加法公式：

$$\boxed{ P_n(\cos\psi) = \frac{1}{2n+1} \sum_{m=0}^{n} \left[ \overline R_{nm}(\theta,\lambda) \overline R_{nm}(\theta_1,\lambda_1) + \overline S_{nm}(\theta,\lambda) \overline S_{nm}(\theta_1,\lambda_1) \right] }$$

它将只依赖两点夹角的 $P_n(\cos\psi)$ 与球谐函数联系起来。

还原公式

若

$$f(\theta,\lambda) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{n} \left[ \overline A_{nm}\overline R_{nm} + \overline B_{nm}\overline S_{nm} \right]= \sum_{n=0}^{\infty} f_n(\theta,\lambda)$$

则第 $n$ 次球谐分量可以直接由原函数求得

$$\boxed{ f_n(\theta,\lambda) = \frac{2n+1}{4\pi} \iint_\sigma P_n(\cos\psi) f(\theta_1,\lambda_1)\,d\sigma }$$

这称为还原公式。

大地位的球函数展开

地球外部引力位为

$$V(\mathbf l) = G\iiint_R \frac{\rho(\mathbf l')}{|\mathbf l-\mathbf l'|} \,dv'$$

其中：

• $\mathbf l$ 为场点位置矢量；
• $\mathbf l'$ 为质量元位置矢量；
• $\psi$ 为两者夹角。

由于地球外部有 $l>l'$，利用母函数展开

$$\frac{1}{|\mathbf l-\mathbf l'|} = \frac{1}{l} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{l'}{l} \right)^n P_n(\cos\psi)$$

所以

$$\boxed{ V(\mathbf l) = G \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{l^{n+1}} \iiint_R \rho(\mathbf l') l'^n P_n(\cos\psi) \,dv' }$$

其中 $n=0$ 项为

$$V_0 = \frac{GM}{l}$$

$n=1$ 项为

$$V_1 = \frac{G}{l^2} \iiint_R \rho(\mathbf l') l' \cos\psi \,dv'$$

若坐标原点取在质心，则 $V_1=0$。

$n=2$ 项为

$$V_2 = \frac{G}{l^3} \iiint_R \rho(\mathbf l') l'^2 \left( 1-\frac32\sin^2\psi \right) dv'$$

若定义

$$A = \iiint_R \rho \left( x_2'^2+x_3'^2 \right) dv'$$

$$B = \iiint_R \rho \left( x_1'^2+x_3'^2 \right) dv'$$

$$C = \iiint_R \rho \left( x_1'^2+x_2'^2 \right) dv'$$

$$I = \iiint_R \rho l'^2 sin^2\psi dv'$$

则

$$V_2 = \frac{G}{2l^3} \left( A+B+C-3I \right)$$

综上，引入参考长度 $a$​，可得 MacCullagh 公式

$$\boxed{ V(\mathbf{l}) = \frac{GM}{l} \left\{ 1+ \left(\frac{a}{l}\right)^2 \frac{A+B+C-3I}{2Ma^2} + \sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{a}{l}\right)^n \frac{1}{Ma^n} \iiint_R \rho l'^nP_n(\cos\psi)\,dv' \right\} }$$

利用球谐加法公式，可以将外部引力位写成常用形式：

$$\boxed{ V(l,\theta,\lambda) = \frac{GM}{l} \left\{ 1+ \sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{a}{l}\right)^n \sum_{m=0}^{n} \left[ c_n^mR_n^m(\theta,\lambda) + s_n^mS_n^m(\theta,\lambda) \right] \right\} }$$

其中：

• $a$ 为选定的参考半径；
• $c_n^m$、$s_n^m$ 为球谐展开系数；
• $R_n^m$、$S_n^m$ 为对应的面球谐函数。

这些系数由内部密度分布的相应质量矩确定。

第一类球边界问题

以半径为 $R$ 的球面 $S$ 为边界，考虑外部第一类问题：

$$\nabla^2u=0 ,\quad u|_S=f(\theta,\lambda) ,\quad \lim_{r \rightarrow\infty}u=0$$

外部调和函数的一般形式为

$$u = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{R}{r}\right)^{n+1} \sum_{m=0}^{n} \left[ A_{nm}R_{nm}(\theta,\lambda) + B_{nm}S_{nm}(\theta,\lambda) \right]$$

将边界函数 $f$ 作球谐展开，对应次数和阶数的系数逐项相等，即可求得 $A_{nm}$、$B_{nm}$。

利用正交性和加法公式，可进一步写为

$$\boxed{ u(P) = \frac{1}{4\pi} \iint_\sigma \sum_{n=0}^{\infty} (2n+1) \left(\frac{R}{r}\right)^{n+1} P_n(\cos\psi) f(Q)\,d\sigma }$$

利用 Legendre 母函数还能把无穷级数求和，得到外部 Poisson 积分公式。若用球面面积元 $dS$ 表示：

$$\boxed{ u(P) = \frac{R(r^2-R^2)}{4\pi} \iint_\sigma \frac{f(Q)}{l^3}\,d\sigma }$$

第二类球边界问题

设在半径为 $R$ 的球面上给定径向导数：

$$\left. \frac{\partial u}{\partial r} \right|_{r=R} = f(\theta,\lambda)$$

仍采用外部调和函数展开：

$$u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{r^{n+1}} Y_n(\theta,\lambda)$$

对 $r$ 求导：

$$\frac{\partial u}{\partial r} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{r^{n+2}} Y_n(\theta,\lambda)$$

将边界观测函数也按球谐函数展开：

$$f(\theta,\lambda) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(\theta,\lambda)$$

逐次比较后可得

$$Y_n = -\frac{R^{n+2}}{n+1}f_n$$

因此外部第二类问题可以写成

$$\boxed{ u(r,\theta,\lambda) = -R \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \left(\frac{R}{r}\right)^{n+1} f_n(\theta,\lambda) }$$

其中 $f_n$ 可由还原公式求出：

$$f_n(\theta,\lambda) = \frac{2n+1}{4\pi} \iint_\sigma P_n(\cos\psi) f(\theta_1,\lambda_1)\,d\sigma$$

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