引力与重力

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2026-10-11

引力与引力位

空间中两个质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的质点，相距 $l$ ，其万有引力大小为

F=G\frac{m_1m_2}{l^2}

其中 $G$ 为万有引力常数。

对于源点 $Q(x',y',z')$ 和场点 $P(x,y,z)$ ，

l=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}

引力方向沿两点连线并指向质量源。

引力做功与路径无关，因此引力场是保守场，可以引入标量函数 $V$ 描述，称为引力位。

V=\frac{GM}{r}

并规定有限质量源满足

V(\infty)=0

引力与引力位的关系为

\mathbf F=\nabla V

因此，引力沿任意方向 $l$ 的分量为

F_l=\frac{\partial V}{\partial l}

引力位 $V$ 与力学中的单位质量势能 $U$ 符号相反：

U=-V

因此

\mathbf F=\nabla V=-\nabla U

满足

V(x,y,z)=C

的曲面称为引力等位面。沿等位面移动时 $dV=0$ ，因此引力方向始终垂直于等位面。

引力位的一般性质

连续性

普通三维质体的引力位在全空间连续，其一阶导数也连续。

对于理想单层质量面，引力位连续，但一阶导数可以发生跃变。

调和性质

无质量区域中， $\rho=0$ ，引力位满足 Laplace 方程：

\nabla^2V=0

满足 Laplace 方程的二阶连续可微函数称为调和函数。

质量源以外的引力位是调和函数。非恒定调和函数不能在连通区域内部取得局部极大值或极小值。

有质量区域中，引力位满足 Poisson 方程：

\nabla^2V=-4\pi G\rho

Laplace 方程是 $\rho=0$ 时的特殊情况。

因此，引力位的二阶导数与当地密度有关，密度不连续时二阶导数也可能不连续。

正则性

对于有限总质量 $M$ ，当 $r\rightarrow\infty$ 时，

V\rightarrow0

并且

rV\rightarrow GM

因此远场有

V\sim\frac{GM}{r}

无限长线、无限平面等总质量无限的模型不能采用 $V(\infty)=0$ 的参考条件。

引力场

叠加原理

引力和引力位都满足叠加原理。

对于多个质点，

V=G\sum_i\frac{m_i}{r_i}

连续质量分布时，求和变为积分。

线质量：

V=G\int_L\frac{\lambda}{r}\,dl

面质量：

V=G\iint_S\frac{\sigma}{r}\,dS

体质量：

V=G\iiint_\Omega\frac{\rho}{r}\,d\tau

通常先由质量分布求引力位，再由

\mathbf F=\nabla V

求引力。

典型质量模型

点质量

V=\frac{GM}{r}

F=\frac{GM}{r^2}

因此有

V\propto\frac1r,\qquad F\propto\frac1{r^2}

有限长均匀细杆

设细杆长度为 $2a$ ，线密度为 $\lambda$ ，场点位于垂直平分线上，距细杆为 $r$ 。

V(r)=2G\lambda \ln\frac{a+\sqrt{a^2+r^2}}{r}

F= \frac{2G\lambda a}{r\sqrt{a^2+r^2}}

当 $a\rightarrow\infty$ 时，

F=\frac{2G\lambda}{r}

此时绝对位发散，只能讨论位差：

V(r)-V(r_0) = 2G\lambda\ln\frac{r_0}{r}

无限大均匀质量面

设质量面为 $z=0$ ，面密度为 $\sigma$ 。

F_z=-2\pi G\sigma\,\mathrm{sgn}(z)

引力大小与距平面的距离无关。

位差为

V(z)-V(0)=-2\pi G\sigma|z|

质量面两侧引力存在跃变：

F_z(0^+)-F_z(0^-) = -4\pi G\sigma

而引力位连续。

均匀球壳

球壳外部：

V=\frac{GM}{r}

F=\frac{GM}{r^2}

与质量集中在球心的点质量相同。

球壳内部：

V=\frac{GM}{R}

为常数，因此

F=0

球壳内部引力为零，但引力位不为零。

球壳的引力位连续，引力在球面处不连续。

均匀球体

球外：

V=\frac{GM}{r}

F=\frac{GM}{r^2}

球内：

F=\frac{GM}{R^3}r

因此球内引力随 $r$ 线性增加。

球心处 $F=0$ ，引力位最大；球面处引力达到最大值。

球体的引力位和引力均连续，但密度在球面发生跃变，因此位的二阶导数不连续。

重力与重力位

地球实际重力由地球引力和自转产生的离心作用组成：

\mathbf g=\mathbf F+\mathbf C

定义离心力位 $Q$ ，使得

\mathbf C=\nabla Q

重力位定义为

W=V+Q

因此

\mathbf g=\nabla W

若地球自转角速度为 $\omega$ ，点到自转轴的距离为 $p$ ，则

Q=\frac12\omega^2p^2

且

\nabla^2Q=2\omega^2

因此地球内部有

\nabla^2W=-4\pi G\rho+2\omega^2

地球外部有

\nabla^2W=2\omega^2

所以重力位 $W$ 一般不是调和函数。

重力场

重力等位面

满足

W(x,y,z)=C

的曲面称为重力等位面。

由于

dW=\mathbf g\cdot d\mathbf r

沿等位面有 $dW=0$ ，因此重力方向始终垂直于重力等位面。

对于相邻两个等位面，

\Delta W=g\Delta l

因此

\Delta l=\frac{\Delta W}{g}

所以重力大的地方等位面间距较小，重力小的地方间距较大。

大地水准面

静止水面上，重力方向必须与水面垂直，因此静止水面是重力等位面。

与平均海洋面相重合，并向大陆内部延伸形成的封闭水准面称为大地水准面。

大地水准面是研究地球形状的重要物理曲面。

重力梯度

重力是重力位的一阶导数：

g_i=\frac{\partial W}{\partial x_i}

重力位的二阶导数描述重力随空间位置的变化：

W_{ij} = \frac{\partial^2W} {\partial x_i\partial x_j}

重力梯度张量为

\mathbf T= \begin{bmatrix} W_{xx} & W_{xy} & W_{xz}\\ W_{yx} & W_{yy} & W_{yz}\\ W_{zx} & W_{zy} & W_{zz} \end{bmatrix}

重力梯度常用单位为 Eötvös：

1E=10^{-9}\ {\rm s^{-2}}

并有

1E=0.1\ {\rm mGal/km}

水准面的曲率

在水准面上一点 $P$ 建立局部坐标系， $z$ 轴沿重力方向， $x$ 、 $y$ 轴位于水准面的切平面内。

水准面满足

W(x,y,z)=W_0

取某个法截面，其交线局部可写为 $z=z(x)$ 。

曲率为

\kappa = \frac{|z''|} {\left[1+(z')^2\right]^{3/2}}

在切点 $P$ ，有 $z'=0$ ，因此曲率由 $z''$ 决定。

沿 $x$ 、 $y$ 方向的法曲率分别为

\kappa_x=-\frac{W_{xx}}{g}

\kappa_y=-\frac{W_{yy}}{g}

因此水准面的曲率由重力位的二阶导数决定。

若两个主曲率为 $\kappa_1$ 、 $\kappa_2$ ，则平均曲率为

J=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}

并有

J= -\frac{W_{xx}+W_{yy}}{2g}

由

\nabla^2W = W_{xx}+W_{yy}+W_{zz}

可得 Bruns 关系：

\frac{\partial g}{\partial h} = -2gJ+4\pi G\rho-2\omega^2

它反映了重力垂向梯度、水准面平均曲率、局部密度和地球自转之间的关系。

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