真实地球的重力场较复杂，通常先构造一个规则的正常重力场作为参考，再研究真实场与它的差异。

$$W=U+T$$

其中 $W$ 为真实重力位，$U$ 为正常重力位，$T$ 为扰动位。本篇中的 $U$ 表示正常重力位。

正常重力场与水准椭球

正常重力位

正常重力位由正常引力位 $V_N$ 和离心位 $Q$ 组成：

$$U=V_N+Q,\qquad Q=\frac12\omega^2(x^2+y^2)$$

正常重力向量为

$$\boldsymbol\gamma=\nabla U$$

因此真实重力与正常重力之差满足

$$\mathbf g-\boldsymbol\gamma=\nabla T$$

重力扰动是在同一空间点比较真实重力与正常重力；重力异常则通常比较大地水准面上的点与椭球面上的对应点，并涉及相应的归算。

水准椭球

参考椭球提供几何基准。若进一步要求椭球面 $\Sigma$ 是正常重力场的等位面，即

$$U|_\Sigma=U_0=\mathrm{const}$$

则称为水准椭球。

正常重力始终垂直于水准椭球面。水准椭球的外部正常场可由 $a,c,GM,\omega$ 四个参数确定，分别描述椭球形状、总质量和自转。

常用参数为

$$\alpha=\frac{a-c}{a},\qquad e^2=\frac{a^2-c^2}{a^2},\qquad m=\frac{\omega^2a^2c}{GM}$$

其中 $a$、$c$ 分别为长、短半轴，$\alpha$ 为几何扁率，$e$ 为第一偏心率，$m$ 为旋转参数。

正常场的构造

拉普拉斯方法：先选取外部引力位的主要球谐项，加上离心位，再由 $U=\mathrm{const}$ 求等位面的形状。一阶近似下可得到旋转椭球；保留更高阶项时，等位面一般不再是严格的旋转椭球。

斯托克斯方法：先指定旋转椭球为等位面，给定 $a,c,GM,\omega$，再通过边值问题求其外部正常场，可得到精确的正常重力公式。

前者从位场求等位面，后者从指定的等位面求位场。以下先用拉普拉斯方法建立一阶关系，再用斯托克斯方法构造精确正常场。

拉普拉斯方法：一阶近似与克雷诺定理

二阶带谐项

前文大地位的球函数展开已经给出：质心系中一次项为零，零次项为 $GM/r$，二次项由质量分布的转动惯量决定。

对于轴对称的正常场，位函数与经度无关，只需保留带谐项。将前文的径向距离 $l$ 记为 $r$，截取到二次项：

$$V_N\approx\frac{GM}{r}\left[1-J_2\left(\frac{a}{r}\right)^2P_2(\cos\vartheta)\right]$$

其中 $\vartheta$ 为地心余纬，

$$P_2(x)=\frac12(3x^2-1)$$

由 MacCullagh 公式，对于绕极轴对称的质量分布，$A=B$，有

$$J_2=\frac{C-A}{Ma^2}$$

其中 $C$、$A$ 分别为绕极轴、赤道轴的转动惯量。$J_2$ 是无量纲系数，表示质量分布偏离球对称的二次效应。

一阶水准面条件

将二阶带谐项与离心位相加，得到近似正常位：

$$U\approx\frac{GM}{r}\left[1-J_2\left(\frac{a}{r}\right)^2P_2(\cos\vartheta)\right]+\frac12\omega^2r^2\sin^2\vartheta$$

赤道处 $r=a$、$P_2(0)=-1/2$；极点处 $r=c=a(1-\alpha)$、$P_2(1)=1$，且离心位为零。保留 $\alpha,J_2,m$ 的一阶项，有

$$U_e\approx\frac{GM}{a}\left(1+\frac12J_2+\frac12m\right),\qquad U_p\approx\frac{GM}{a}(1+\alpha-J_2)$$

令 $U_e=U_p$，消去公共项，即得

$$J_2\approx\frac23\alpha-\frac13m$$

因此，正常场的 $J_2$ 与椭球扁率、自转有关。这里采用一阶近似，$\omega^2a^3/(GM)$ 与 $m$ 的差别属于二阶小量。

把这一关系代回 $U=\mathrm{const}$，求过赤道 $r=a$ 的等位面，可得

$$r(\vartheta)\approx a(1-\alpha\cos^2\vartheta)$$

这正是旋转椭球的一阶表达，也说明赤道与极点位相等的条件在一阶近似下能与整个椭球面等位相容。

克雷诺定理

设赤道、极点的正常重力分别为 $\gamma_e$、$\gamma_p$，定义重力扁率

$$\beta=\frac{\gamma_p-\gamma_e}{\gamma_e}$$

在赤道和极点，外法线与径向重合，可以直接由 $\gamma=-\partial U/\partial r$ 求重力。对上述近似正常位求导，再代入两个端点：

$$\gamma_e\approx\frac{GM}{a^2}\left(1+\frac32J_2-m\right),\qquad \gamma_p\approx\frac{GM}{a^2}(1+2\alpha-3J_2)$$

因此，重力扁率的一阶表达为

$$\beta\approx2\alpha-\frac92J_2+m$$

代入 $J_2\approx2\alpha/3-m/3$，便得到一阶克雷诺定理：

$$\boxed{\alpha+\beta\approx\frac52m}$$

它将椭球的几何形状、重力随纬度的变化和自转联系起来。

斯托克斯方法：构造精确正常场

椭球坐标与边界条件

为了让给定的椭球面成为简单的坐标面，引入椭球坐标 $(u,\theta_r,\lambda)$：

$$\begin{aligned} x&=\sqrt{u^2+E^2}\sin\theta_r\cos\lambda\\ y&=\sqrt{u^2+E^2}\sin\theta_r\sin\lambda\\ z&=u\cos\theta_r \end{aligned}$$

其中 $E=\sqrt{a^2-c^2}$，$u=c$ 就是参考椭球面；$\theta_r$ 为改化余纬，与地心余纬 $\vartheta$ 不同。轴对称使位函数与经度 $\lambda$ 无关。

椭球外部无质量，正常引力位满足

$$\nabla^2V_N=0,\qquad V_N\rightarrow0,\qquad rV_N\rightarrow GM\quad(r\rightarrow\infty)$$

椭球面上 $U=U_0$，减去已知的离心位，便得到引力位的边界条件：

$$\begin{aligned} V_N(c,\theta_r)&=U_0-\frac12\omega^2a^2\sin^2\theta_r\\ &=\left(U_0-\frac{\omega^2a^2}{3}\right)+\frac{\omega^2a^2}{3}P_2(\cos\theta_r) \end{aligned}$$

这里用到了 $\sin^2\theta_r=2[1-P_2(\cos\theta_r)]/3$。因此，边界数据只含 $P_0$ 和 $P_2$ 两个角向分量。

分离变量与正常位

将 $V_N=F(u)Y(\theta_r)$ 代入椭球坐标下的 Laplace 方程，可将径向与角向分开。角向解要求在两极有限，得到 $Y_n=P_n(\cos\theta_r)$；相应的径向方程为

$$\frac{d}{du}\left[(u^2+E^2)\frac{dF_n}{du}\right]-n(n+1)F_n=0$$

远处两支解分别呈 $u^n$ 和 $u^{-n-1}$ 的行为，外部位只保留衰减支。再按边界上的 $P_n$ 逐项匹配，只需留下 $n=0,2$。

零次径向方程可直接积分，得到 $F_0\propto\arctan(E/u)$；二次方程的衰减解可用辅助函数表示：

$$q(u)=\left(1+\frac{3u^2}{E^2}\right)\arctan\frac{E}{u}-\frac{3u}{E}$$

远场质量条件确定零次项的系数，边界上的 $P_2$ 系数确定二次项，因而

$$V_N(u,\theta_r)=\frac{GM}{E}\arctan\frac{E}{u}+\frac{\omega^2a^2}{3}\frac{q(u)}{q(c)}P_2(\cos\theta_r)$$

再加离心位，便得到精确正常位：

$$U=V_N+\frac12\omega^2(u^2+E^2)\sin^2\theta_r$$

在 $u=c$ 上，$P_2$ 项与离心位的角度变化恰好抵消，留下常数

$$U_0=\frac{GM}{E}\arctan\frac{E}{c}+\frac13\omega^2a^2$$

这说明构造出的椭球面确实等位。结合外部边值问题的唯一性，正常场被确定；内部密度分布仍不能由此唯一确定。

Somigliana 正常重力公式

求出正常位后，在椭球面上取其梯度，即可得到正常重力。若 $n$ 沿外法线向外，则正常重力大小为

$$\gamma=-\frac{\partial U}{\partial n}$$

椭球坐标中的 $du$ 并不直接等于法向距离，要除以尺度因子：

$$\gamma=-\left.\frac1{h_u}\frac{\partial U}{\partial u}\right|_{u=c},\qquad h_u\big|_{u=c}=\frac{S}{a}$$

其中 $S=\sqrt{c^2\sin^2\theta_r+a^2\cos^2\theta_r}$。

对正常位求导后，分子只含常数和 $\sin^2\theta_r$。用极点、赤道的重力值代替这两个系数，可写为

$$\gamma(\theta_r)=\frac{a}{S}\left[\gamma_p+\left(\frac ca\gamma_e-\gamma_p\right)\sin^2\theta_r\right]$$

再利用椭球面上的几何关系 $\cot\theta_r=(c/a)\tan B$，将改化余纬换成大地纬度 $B$，整理得到 Somigliana 公式：

$$\boxed{\gamma(B)=\frac{a\gamma_e\cos^2B+c\gamma_p\sin^2B}{\sqrt{a^2\cos^2B+c^2\sin^2B}}}$$

也可写为

$$\gamma(B)=\gamma_e\frac{1+k\sin^2B}{\sqrt{1-e^2\sin^2B}},\qquad k=\frac{c\gamma_p}{a\gamma_e}-1$$

这是水准椭球面上的精确公式。$B=0$ 时得到 $\gamma_e$，$B=90^\circ$ 时得到 $\gamma_p$；对于地球的正常场，重力由赤道向两极增大。

若只保留一阶小量，公式简化为

$$\gamma(B)\approx\gamma_e(1+\beta\sin^2B)$$

这是因为 $k=(1-\alpha)(1+\beta)-1\approx\beta-\alpha$，而 $e^2\approx2\alpha$；将分母展开为 $1/\sqrt{1-e^2\sin^2B}\approx1+\alpha\sin^2B$，相乘后扁率项抵消。

其中 $B$ 是大地纬度，即椭球外法线与赤道面的夹角，不能直接用地心纬度代替。

正常重力场的梯度

正常位的调和性质

椭球外部的正常引力位满足 $\nabla^2V_N=0$，而离心位满足 $\nabla^2Q=2\omega^2$，因此

$$\nabla^2U=2\omega^2$$

所以正常重力位不是调和函数。

垂直重力梯度

在椭球面上建立局部直角坐标系：$x_1$ 指北，$x_2$ 指东，$x_3$ 沿外法线向上。记

$$U_{ij}=\frac{\partial^2U}{\partial x_i\partial x_j}$$

子午圈和卯酉圈的曲率半径分别为

$$R_M=\frac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2B)^{3/2}},\qquad R_N=\frac{a}{\sqrt{1-e^2\sin^2B}}$$

沿等位面的法截线移动，$U$ 保持不变；对弧长求两次导数，切向二阶导数与曲线弯曲带来的法向贡献之和为零，即 $U_{tt}+\gamma/R=0$。因此

$$U_{11}=-\frac{\gamma}{R_M},\qquad U_{22}=-\frac{\gamma}{R_N}$$

结合 $U_{11}+U_{22}+U_{33}=2\omega^2$，并利用向上方向有 $\partial\gamma/\partial h=-U_{33}$，可得椭球面处沿向上法线的重力梯度

$$\frac{\partial\gamma}{\partial h}=-2\omega^2-\gamma\left(\frac1{R_M}+\frac1{R_N}\right)$$

常用近似值为

$$\boxed{\frac{\partial\gamma}{\partial h}\approx-0.3086\ \mathrm{mGal/m}}$$

即在地表附近，高度每增加 $1\ \mathrm m$，正常重力约减小 $0.3086\ \mathrm{mGal}$。

重力线的弯曲

沿子午线有 $ds=R_M\,dB$。将 $\nabla U=-\gamma\mathbf n$ 沿子午线求导，并取法向分量，便得到混合梯度

$$U_{13}=-\frac1{R_M}\frac{d\gamma}{dB}$$

其中 $B$ 按弧度计。正常重力线的曲率满足

$$\frac1\rho=\frac{|U_{13}|}{\gamma}$$

因此，正常重力线也有微小弯曲。

正常引力位的球函数展开

正常场轴对称且关于赤道对称，因此球谐展开只含偶次带谐项：

$$V_N(r,\vartheta)=\frac{GM}{r}\left[1-\sum_{n=1}^{\infty}J_{2n}\left(\frac{a}{r}\right)^{2n}P_{2n}(\cos\vartheta)\right]$$

轴对称使其与经度无关，赤道对称使奇次项消失。

这些系数也可由上述闭式解求出：沿极轴取 $\theta_r=0$，此时 $r=u$、$P_{2n}(1)=1$，两种表达都变成 $1/r$ 的幂级数。将 $\arctan(E/u)$ 和 $q(u)$ 展开，逐项比较 $r^{-3},r^{-5},\ldots$ 的系数，即可求得 $J_2,J_4,\ldots$，例如

$$J_4=\frac{3}{35}e^4-\frac67e^2J_2$$

所以，高阶偶次带谐系数不是独立指定的。椭球坐标下的简洁表达，转换为球谐展开后仍会包含无穷多个偶次项。

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