面波是沿介质自由表面传播的波，分为两种振型：Love 波和 Rayleigh 波。Love 波的偏振方向与传播方向垂直并且与自由表面平行，而 Rayleigh 波的偏振方向在传播方向和自由表面法向构成的平面上。

对于面波，波场在介质界面的位移、应力应满足下面条件：

• 自由界面：应力为零。
• 介质界面：位移和应力连续。
• 无穷远点：位移为零。

Love 波

最简单的 Love 波产生在两层均匀介质中。设下层为无限空间。Love 波的偏振方向为 $y$ 方向，设介质 1 中存在下行波和上行波，那么介质 1 中的位移场可以表示为

$$u_y^{(1)}=Ae^{i\omega(px+\eta_1z)}+Be^{i\omega(px-\eta_1z)}$$

记 $c = 1/p$ 为水平视速度。

在介质 2 中，为满足无穷远点的边界条件，位移场只能存在下行波，且为向下衰减的非均匀波，即 $\eta_2=i\nu_2$，$\nu_2=\sqrt{(1/c)^2-(1/\beta_2)^2}$。

$$u_y^{(2)}=Ce^{-\omega\nu_2z}e^{i\omega px}$$

由 $\eta_1$ 和 $\nu_2$ 必须为实数可以得到相速度需要满足：

$$\beta_1 < c < \beta_2$$

应用自由表面边界条件可以得到

$$A=B$$

进一步应用介质界面边界条件可以得到

$$\begin{cases} 2A\cos(\omega\eta_1H) - Ce^{-\omega\nu_2H} = 0 \\ 2A\eta_1\mu_1\sin(\omega\eta_1H) - C\mu_2\nu_2e^{-\omega\nu_2H} = 0 \end{cases}$$

上面方程组有非零解的条件是

$$\tan(\omega\eta_1H) = \frac{\mu_2\nu_2}{\mu_1\eta_1}$$

或

$$\tan\left(\omega H \sqrt{(\frac{1}{\beta_1})^2-(\frac{1}{c})^2}\right) = \frac{\mu_1\sqrt{(\frac{1}{c})^2-(\frac{1}{\beta_2})^2}}{\mu_2\sqrt{(\frac{1}{\beta_1})^2-(\frac{1}{c})^2}}$$

上式被称为 Love 波的频散方程。

给定一个频率 $\omega$，上式可以解得对应的相速度 $c$。

频散与多阶模式

由于 $\tan$ 函数的周期性，Love 波存在多个模式。每个模式对应一个不同的频散曲线：

$$\omega_n = \frac{n\pi}{H\sqrt{(\frac{1}{\beta_1})^2-(\frac{1}{c})^2}} + \frac{1}{H}\arctan\left(\frac{\mu_1\sqrt{(\frac{1}{c})^2-(\frac{1}{\beta_2})^2}}{\mu_2\sqrt{(\frac{1}{\beta_1})^2-(\frac{1}{c})^2}}\right)$$

面波的这种性质称为多阶性质。频率越高，高阶模式越多。

本征函数

回到由边界条件导出的方程组，解出 $A$ 和 $C$ 的比值可以得到 Love 波的位移表达式：

$$u_{y,n}^{(1)} = 2A\cos\left[\omega\sqrt{\left(\frac{1}{\beta_1}\right)^2-\left(\frac{1}{c_n}\right)^2}z\right]e^{i\omega x/c_n} \quad (0\leq z \leq H)$$

$$u_{y,n}^{(2)} = 2A\cos\left[\omega\sqrt{\left(\frac{1}{\beta_1}\right)^2-\left(\frac{1}{c_n}\right)^2}H\right]e^{-\omega \nu_2 (z-H)}e^{i\omega x/c_n} \quad (z \geq H)$$

位移表达式的振幅称为本征函数，它描述了面波振幅随深度的变化。

$$l_n^{(1)}(z,\omega) = 2A \cos \left[\omega\sqrt{\left(\frac{1}{\beta_1}\right)^2-\left(\frac{1}{c_n}\right)^2}z\right] \quad (0\leq z \leq H)$$

$$l_n^{(2)}(z,\omega) = 2A \cos \left[\omega\sqrt{\left(\frac{1}{\beta_1}\right)^2-\left(\frac{1}{c_n}\right)^2}H\right]e^{-\omega \nu_2 (z-H)} \quad (z \geq H)$$

注

使用矩阵方法同样可以推导出一样结论，此处略去求解过程。

Rayleigh 波

Rayleigh 波是 P-SV 波与自由界面耦合产生沿自由表面传播的非均匀波。下面考虑简单情形的 Rayleigh 波，设介质是均匀的半无限空间，则位移-应力矢量可以表示为

$$\begin{bmatrix} r_1(z)\\ r_2(z)\\ r_3(z)\\ r_4(z) \end{bmatrix} = \mathbf{E}\mathbf{\Lambda}(z,0) \begin{bmatrix} c_\alpha^d\\ c_\beta^d\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$$

代入自由表面边界条件可以得到

$$\begin{bmatrix} r_1(0)\\ r_2(0)\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{E}_{11} & \mathbf{E}_{12} \\ \mathbf{E}_{21} & \mathbf{E}_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_\alpha^d\\ c_\beta^d\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$$

即

$$\begin{bmatrix} r_1(0)\\ r_2(0) \end{bmatrix} = \mathbf{E}_{11} \begin{bmatrix} c_\alpha^d\\ c_\beta^d\\ \end{bmatrix} \tag{1}$$

$$\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{E}_{21} \begin{bmatrix} c_\alpha^d\\ c_\beta^d\\ \end{bmatrix} \tag{2}$$

Rayleigh 方程

由 (2) 式的非零解条件可以得到 Rayleigh 方程：

$$\left[2-\left(\frac{c}{\beta}\right)^2\right]^2 - 4\sqrt{1-\left(\frac{c}{\alpha}\right)^2}\sqrt{1-\left(\frac{c}{\beta}\right)^2} = 0 \tag{3}$$

以及 $c_\alpha^d$ 和 $c_\beta^d$ 的线性关系：

$$c_\beta^d = \frac{\alpha(1-2\beta^2p^2)}{2\beta^3p\eta}c_\alpha^d \tag{4}$$

可以发现半无限空间均匀介质中的 Rayleigh 波相速度无频散，通过式 (3) Rayleigh 方程可以求得相速度 $c$。

本征函数与偏振

将 (4) 式代回位移-应力矢量的表达式可以得到本征函数：

$$r_1(z,\omega) = c_\alpha^d \left( pe^{-\omega\nu_\alpha z} + \frac{1-2\beta^2p^2}{2\beta^2p}e^{-\omega\nu_\beta z} \right)$$

$$r_2(z,\omega) = ic_\alpha^d \left( \nu_\alpha e^{-\omega\nu_\alpha z} + \frac{1-2\beta^2p^2}{2\beta^2\nu_\beta}e^{-\omega\nu_\beta z} \right)$$

其中 $\nu_\alpha = \sqrt{p^2-(1/\alpha)^2}$，$\nu_\beta = \sqrt{p^2-(1/\beta)^2}$。

可以发现 Rayleigh 波的位移在 $x$ 和 $z$ 方向都有分量，且两者之间存在固定的相位差，因此 Rayleigh 波是椭圆偏振的面波。

群速度

以上讨论的是单频地震波的情形，实际地震激发的面波总是具有一定的频带宽度，当存在频散时，不同频率的面波在传播过程中就可能产生干涉。

设面波的频带为 $(\omega_0-\Delta\omega/2,\omega_0+\Delta\omega/2)$，这一频带内面波在介质表面的叠加位移场为

$$u_n(x,t) = Re \left\{ \frac{1}{\pi} \int_{\omega_0-\Delta\omega/2}^{\omega_0+\Delta\omega/2} A_0(\omega)e^{ik_nx}e^{-i\omega t}d\omega \right\}$$

其中 $A_0(\omega)$ 为振幅，在频带很窄的条件下可视作常数：

$$A_0(\omega) \approx A_0(\omega_0)$$

将 $k_n(\omega)$ 在 $\omega_0$ 处进行一阶泰勒展开可以得到：

$$k_n(\omega) \approx k_n(\omega_0) + \left.\frac{dk_n}{d\omega}\right|_{\omega_0}(\omega-\omega_0)$$

代入积分表达式可以得到

$$u_n(x,t) = A_0(\omega_0) \frac{\Delta\omega}{\pi}\frac{\sin Y}{Y}\cos (\omega_0 t - k_n\omega_0x)$$

$$Y=\frac{\Delta\omega}{2}\left(t - \left.x\frac{dk_n}{d\omega}\right|_{\omega_0}\right)$$

表明干涉叠加后的面波振幅由 $\sin Y/Y$ 控制

定义

$$\left.\frac{dk_n}{d\omega}\right|_{\omega_0} = \frac{1}{U_g(\omega_0)}$$

则波包的传播速度为 $U_g$，称为群速度。由于振动集中在波包内，所以群速度也是能量传播的速度。群速度也具有频散。

稳相法

对于全频率域的面波，可以使用稳相法分析其传播特性。

$$u(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} A(\omega)e^{ikx}e^{-i\omega t}d\omega$$

当 $x$，$t$ 很大时，$\omega$ 的微小变化就会引起相位的很大改变。稳相点 $\omega_s$ 是相位变化最小的点：

$$\frac{d(\omega t-kx)}{d\omega} \bigg|_{\omega=\omega_s} = 0$$

即

$$U_g(\omega_s) = \frac{x}{t}$$

对于给定的 $t$ 和 $x$，可以在群速度频散曲线上找到对应的 $\omega_s$，因此 $\omega_s = \omega_s(x,t)$。

把相位函数在 $\omega_s$ 处进行 Taylor 展开，略去三阶及以上项可以得到

$$\omega t - kx = (\omega_s t - k_s x) - \frac{1}{2}\left.\frac{d^2k}{d\omega^2}\right|_{\omega=\omega_s}x(\omega-\omega_s)^2$$

代入并求解积分得到

$$u(x,t) = \frac{1}{2\pi}A(\omega_s)\sqrt{\frac{2\pi}{x\left|d^2k/d\omega^2\right|_{\omega_s}}}\exp \left\{-i\omega_s t + ik_s x + i\frac{\pi}{4} sgn \left(\left.\frac{d^2k}{d\omega^2}\right|_{\omega_s}\right)\right\}$$

Airy 相

当 $(U_g/\omega)|_{\omega_s} = 0$，即 $(d^2k/d\omega^2)|_{\omega_s} = 0$ 时，以上近似不再适用，此时需要把相位函数在稳相点处进行三阶 Taylor 展开。这时会出现 Airy 相：

• 稳相点的频率是群速度频散曲线的极值点，其附近各频率的波包几乎同时到达，所以振幅会得到增强。
• Airy 相的振幅衰减较慢，衰减率为 $x^{-1/3}$，而非 Airy 相的面波几何衰减为 $x^{-1/2}$。

因此远震中 Airy 相通常是面波的主导振型。

传播矩阵

传播矩阵是求解水平层状介质中面波本征函数的一种快捷方法。对于方阵 $\mathbf{A}(z)$，定义传播矩阵：

$$\mathbf{P}(z,z_0) = \mathbf{I}+\int_{z_0}^z \mathbf{A}(\xi_1)d\xi_1 + \int_{z_0}^z \mathbf{A}(\xi_1)\int_{z_0}^{\xi_1} \mathbf{A}(\xi_2)d\xi_2 d\xi_1 + \cdots$$

容易验证

$$\frac{d\mathbf{P}(z,z_0)}{dz} = \mathbf{A}(z)\mathbf{P}(z,z_0)$$

考虑下面方程：

$$\frac{d\mathbf{y}(z)}{dz} = \mathbf{A}(z)\mathbf{y}(z)$$

可以验证 $\mathbf{y}(z) = \mathbf{P}(z,z_0)\mathbf{y}(z_0)$ 是上面方程的解。

当 $\mathbf{A}(z)$ 是常数矩阵时，会议位移-应力矢量的一般解形式，有

$$\mathbf{y}(z) = \mathbf{E}\mathbf{\Lambda}(z,z_0)\mathbf{c}$$

由此推出 $\mathbf{y}(z_0) = \mathbf{E}\mathbf{c}$，$\mathbf{c} = \mathbf{E}^{-1}\mathbf{y}(z_0)$。代回位移-应力矢量的一般解形式可以得到

$$\mathbf{y}(z) = \mathbf{E}\mathbf{\Lambda}(z,z_0)\mathbf{E}^{-1}\mathbf{y}(z_0)$$

对比可以得到矩阵 $\mathbf{A}$ 是常数矩阵时，传播矩阵的一般表达式：

$$\mathbf{P}(z,z_0) = \mathbf{E}\mathbf{\Lambda}(z,z_0)\mathbf{E}^{-1}$$

多层介质中的 Love 波

借助传播矩阵，第 $i$ 层介质中的位移-应力矢量可以表示为

$$\begin{bmatrix} l_1^{(i)}(z)\\ l_2^{(i)}(z) \end{bmatrix} = \mathbf{P}^{(i)}(z,z_i) \begin{bmatrix} l_1^{(i)}(z_i)\\ l_2^{(i)}(z_i) \end{bmatrix} \quad (z_{i-1} \leq z \leq z_i)$$

内界面边界条件为

$$\begin{bmatrix}l_1^{(i)}(z_{i})\\ l_2^{(i)}(z_{i})\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}l_1^{(i+1)}(z_{i})\\ l_2^{(i+1)}(z_{i})\end{bmatrix}$$

自由表面边界条件为

$$\begin{bmatrix}l_1^{(1)}(0)\\0\end{bmatrix} = \mathbf{P}^{(1)}(0,z_1) \begin{bmatrix}l_1^{(1)}(z_1)\\l_2^{(1)}(z_1)\end{bmatrix}$$

结合上面两式，可得

$$\begin{bmatrix}l_1^{(1)}(0)\\0\end{bmatrix} = \mathbf{P}^{(1)}(0,z_1)\mathbf{P}^{(2)}(z_1,z_2) \cdots \mathbf{P}^{(N)}(z_{N-1},z_N) \begin{bmatrix}l_1^{(N)}(z_N)\\l_2^{(N)}(z_N)\end{bmatrix} \tag{1}$$

利用传播矩阵的性质 $\mathbf{P}^{-1}(z_i,z_{i+1}) = \mathbf{P}(z_{i+1},z_i)$，可以将 (1) 式变换为

$$\begin{bmatrix}l_1^{(N)}(z_N)\\l_2^{(N)}(z_N)\end{bmatrix} = \mathbf{P}^{(N)}(z_N,z_{N-1}) \cdots \mathbf{P}^{(2)}(z_2,z_1)\mathbf{P}^{(1)}(z_1,0) \begin{bmatrix}l_1^{(1)}(0)\\0\end{bmatrix} \tag{2}$$

又

$$\begin{bmatrix}l_1^{(N)}(z_N)\\l_2^{(N)}(z_N)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}l_1^{(N+1)}(z_N)\\l_2^{(N+1)}(z_N)\end{bmatrix}= \mathbf{E}^{(N+1)} \begin{bmatrix}c_d^{(N+1)}\\0\end{bmatrix}$$

代入 (2) 式可以得到

$$\begin{bmatrix}c_d^{(N+1)}\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}l_1^{(1)}(0)\\0\end{bmatrix} \tag{3}$$

$$\mathbf{B} = \mathbf{E}^{(N+1)^{-1}}\mathbf{P}^{(N)}(z_N,z_{N-1}) \cdots \mathbf{P}^{(2)}(z_2,z_1)\mathbf{P}^{(1)}(z_1,0)$$

由方程 (3) 的第二式推出

$$B_{21} = 0$$

上式即为多层介质中 Love 波的频散方程。

同时参照 (2) 式，可以得到各层的本征函数：

$$\begin{bmatrix}l_1^{(i)}(z)\\l_2^{(i)}(z)\end{bmatrix} = \mathbf{P}^{(i)}(z,z_i) \cdots \mathbf{P}^{(2)}(z_2,z_1)\mathbf{P}^{(1)}(z_1,0) \begin{bmatrix}l_1^{(1)}(0)\\0\end{bmatrix}$$

注

对于 Rayleigh 波同样可以使用传播矩阵求解频散方程和本征函数，此处略去求解过程。

除此之外，多层介质中的面波还可以使用广义反/透射系数方法求解，参见 相关论文。

全球面波

面波由震源沿着地球表面大圆弧路径传播，在观测点可以被多次观测到，分别用 Gi，Ri 来标识第 i 次观测到的 Love 波和 Rayleigh 波。

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