面波

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2026-05-08

面波是沿介质自由表面传播的波，分为两种振型：Love 波和 Rayleigh 波。Love 波的偏振方向与传播方向垂直并且与自由表面平行，而 Rayleigh 波的偏振方向在传播方向和自由表面法向构成的平面上。

对于面波，波场在介质界面的位移、应力应满足下面条件：

Love 波

设介质为两层的均匀介质，下层为无限空间。Love 波的偏振方向为 $y$ 方向，设介质 1 中存在下行波和上行波，那么介质 1 中的位移场可以表示为

u_y^{(1)}=Ae^{i\omega(px+\eta_1z)}+Be^{i\omega(px-\eta_1z)}

记 $c = 1/p$ 为水平视速度。

在介质 2 中，为满足无穷远点的边界条件，位移场只能存在下行波，且为向下衰减的非均匀波，即 $\eta_2=i\nu_2$ ， $\nu_2=\sqrt{(1/c)^2-(1/\beta_2)^2}$ 。

u_y^{(2)}=Ce^{-\omega\nu_2z}e^{i\omega px}

由 $\eta_1$ 和 $\nu_2$ 必须为实数可以得到相速度需要满足：

\beta_1 < c < \beta_2

应用自由表面和介质界面的边界条件可以得到

\begin{cases} 2A\cos(\omega\eta_1H) - Ce^{-\omega\nu_2H} = 0 \\ 2A\eta_1\mu_1\sin(\omega\eta_1H) - C\mu_2\nu_2e^{-\omega\nu_2H} = 0 \end{cases}

有非零解的条件是

\tan(\omega\eta_1H) = \frac{\mu_2\nu_2}{\mu_1\eta_1}

或

\tan\left(\omega H \sqrt{(\frac{1}{\beta_1})^2-(\frac{1}{c})^2}\right) = \frac{\mu_1\sqrt{(\frac{1}{c})^2-(\frac{1}{\beta_2})^2}}{\mu_2\sqrt{(\frac{1}{\beta_1})^2-(\frac{1}{c})^2}}

上式被称为 Love 波的频散方程。

给定一个频率 $\omega$ ，上式可以解得对应的相速度 $c$ 。

由于 $\tan$ 函数的周期性，Love 波存在多个模式。每个模式对应一个不同的频散曲线：

\omega_n = \frac{n\pi}{H\sqrt{(\frac{1}{\beta_1})^2-(\frac{1}{c})^2}} + \frac{1}{H}\arctan\left(\frac{\mu_1\sqrt{(\frac{1}{c})^2-(\frac{1}{\beta_2})^2}}{\mu_2\sqrt{(\frac{1}{\beta_1})^2-(\frac{1}{c})^2}}\right)

面波的这种性质称为多阶性质。频率越高，高阶模式越多。

回到由边界条件导出的方程组，

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