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震源理论

约 4170 字大约 14 分钟

2026-06-21

力系激发的位移场

单力激发的位移场

设单力的作用点为 x0\mathbf{x}_0，表示为

fi(x,t)=ai(t)δ(x−x0)f_i(\mathbf{x},t) = a_i(t) \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)

频率域为

fi(x,ω)=ai(ω)δ(x−x0)f_i(\mathbf{x},\omega) = a_i(\omega) \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)

其激发的位移场可以表示为

ui(x,ω)=Gik(x∣x0;ω)ak(ω)u_i(\mathbf{x},\omega) = G_{ik}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0; \omega) a_k(\omega)

其中 Gik(x∣x0;ω)G_{ik}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0; \omega) 是格林函数，表示点 x0\mathbf{x}_0 处 xkx_k 方向的脉冲单力激发的位移场在点 x\mathbf{x} 处 xix_i 方向的响应。

力偶激发的位移场

设一对力偶，力臂中心为 x0\mathbf{x}_0，力臂长度为 ε\varepsilon，力臂单位矢量为 v^\hat{\mathbf{v}}，一个单力表示为 a(ω)\mathbf{a}(\omega)，另一个单力表示为 −a(ω)-\mathbf{a}(\omega)。

其激发的位移场可以表示为

ui(x,ω)=∂Gik(x∣x0;ω)∂x0jn^kv^jM0(ω)u_i(\mathbf{x},\omega) = \frac{\partial G_{ik}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0; \omega)}{\partial x_{0j}} \hat{n}_k \hat{v}_j M_0(\omega)

其中 n^\hat{\mathbf{n}} 是力的单位矢量，M0(ω)=εa(ω)M_0(\omega) = \varepsilon a(\omega) 为地震矩谱。

定义地震矩张量为

Mij(ω)=n^iv^jM0(ω)M_{ij}(\omega) = \hat{n}_i \hat{v}_j M_0(\omega)

地震断层位错

将震源过程简化为断层的纯剪切滑动，那么一个断层的位错可以由走向、倾角和滑动角三个参数表征。

震源位错理论表明，地震的剪切位错源（断层的滑动方向与断层面法线方向垂直）等价于无矩双力偶力系分布，力臂与力垂直，断层下盘的法向单位矢量对应于力臂方向单位矢量 v^\hat{\mathbf{v}}，断层上盘相对于下盘的位错方向单位矢量对应于力的单位矢量 n^\hat{\mathbf{n}}。或者，断层下盘的法向单位矢量对应于力的单位矢量 n^\hat{\mathbf{n}}，断层上盘相对于下盘的位错方向单位矢量对应于力臂方向单位矢量 v^\hat{\mathbf{v}}。

地震矩的一般表述

对于各向同性介质中的点源，地震矩张量的一般表达式为

M(ω)=[λμn^⋅v^I+(n^v^+v^n^)]M0(ω)\mathbf{M}(\omega) = \left[\frac{\lambda}{\mu} \hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{v}} \mathbf{I} + (\hat{\mathbf{n}} \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \hat{\mathbf{n}})\right] M_0(\omega)

其中 M0(ω)=μD(ω)AM_0(\omega)=\mu D(\omega) A 为地震矩谱，D(ω)D(\omega) 为上盘相对于下盘的位错量，AA 为位错面积。

震源类型地震矩张量
压缩中心M=IM0\mathbf{M} = \mathbf{I} M_0
纯剪切位错源M=(n^v^+v^n^)M0(n^⊥v^)\mathbf{M} = (\hat{\mathbf{n}} \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \hat{\mathbf{n}}) M_0 \quad (\hat{\mathbf{n}} \perp \hat{\mathbf{v}})
纯扩张源M=(λμI+2v^v^)M0(n^∥v^)\mathbf{M} = \left(\frac{\lambda}{\mu}\mathbf{I} + 2\hat{\mathbf{v}} \hat{\mathbf{v}} \right) M_0 \quad (\hat{\mathbf{n}} \parallel \hat{\mathbf{v}})

地震矩的分解

对于一般的地震矩张量，可以求解出其特征值和特征向量，以及对应的主轴坐标系。在主轴坐标系中，地震矩张量等价于三个相互垂直的力偶极子。

[M11M12M13M21M22M23M31M32M33]→[λ1000λ2000λ3]\begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix}

纯剪切位错源还原

一个纯剪切位错源在主轴坐标系下总可以表示成

[M0000−M00000]\begin{bmatrix} M_0 & 0 & 0 \\ 0 & -M_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

的形式。

但是受实际观测的影响，反演得到的震源机制解往往是一般形式，因此需要将地震矩张量分解。下面是一种常见的分解方法，将地震矩张量分解为压缩中心，主双力偶和次双力偶。

M=[λ1000λ2000λ3]=13[tr(M)000tr(M)000tr(M)]+[m1000−m10000]+[0000−m3000m3]\mathbf{M} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} tr(\mathbf{M}) & 0 & 0 \\ 0 & tr(\mathbf{M}) & 0 \\ 0 & 0 & tr(\mathbf{M}) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0 & -m_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -m_3 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{bmatrix}

m1=λ1−13tr(M),m2=λ2−13tr(M),m3=λ3−13tr(M)m_1 = \lambda_1 - \frac{1}{3} tr(\mathbf{M}), \quad m_2 = \lambda_2 - \frac{1}{3} tr(\mathbf{M}), \quad m_3 = \lambda_3 - \frac{1}{3} tr(\mathbf{M})

∣m1∣≥∣m2∣≥∣m3∣|m_1| \ge |m_2| \ge |m_3|

三个基本剪切位错

纯剪切位错源可由断层的走向 ϕ\phi，倾角 δ\delta 和滑动角 λ\lambda 描述，下面用这三个参数来表示剪切位错源的地震矩张量。

定义震中坐标系：

  • xx 轴：南，用 x^1\hat{\mathbf{x}}_1 表示
  • yy 轴：东，用 x^2\hat{\mathbf{x}}_2 表示
  • zz 轴：上，用 x^3\hat{\mathbf{x}}_3 表示

定义震源坐标系：

  • xx 轴：断层走向，用 e^1\hat{\mathbf{e}}_1 表示
  • yy 轴：断层倾向的负方向，用 e^2\hat{\mathbf{e}}_2 表示
  • zz 轴：上，用 e^3\hat{\mathbf{e}}_3 表示

e^1=−cos⁡ϕx^1+sin⁡ϕx^2e^2=−sin⁡ϕx^1−cos⁡ϕx^2e^3=x^3\hat{\mathbf{e}}_1 = -\cos \phi \hat{\mathbf{x}}_1 + \sin \phi \hat{\mathbf{x}}_2 \\ \hat{\mathbf{e}}_2 = -\sin \phi \hat{\mathbf{x}}_1 - \cos \phi \hat{\mathbf{x}}_2 \\ \hat{\mathbf{e}}_3 = \hat{\mathbf{x}}_3

v^=−sin⁡δe^2+cos⁡δe^3n^=cos⁡λe^1+sin⁡λcos⁡δe^2+sin⁡λsin⁡δe^3\hat{\mathbf{v}} = -\sin \delta \hat{\mathbf{e}}_2 + \cos \delta \hat{\mathbf{e}}_3 \\ \hat{\mathbf{n}} = \cos \lambda \hat{\mathbf{e}}_1 + \sin \lambda \cos\delta \hat{\mathbf{e}}_2 + \sin \lambda \sin\delta \hat{\mathbf{e}}_3

代入剪切位错源的地震矩张量表达式，得到

M(λ,δ,ϕ)=(n^v^+v^n^)M0(ω)=M0(ω)[−p1(x^1x^2+x^2x^1)+p2(−x^1x^1+x^2x^2)−p3(x^2x^3+x^3x^2)−p4(x^1x^3+x^3x^1)+p5(−x^1x^1−x^2x^2+2x^3x^3)]\begin{aligned} \mathbf{M}(\lambda, \delta, \phi) =& (\hat{\mathbf{n}} \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \hat{\mathbf{n}}) M_0(\omega)\\ =& M_0(\omega)[ -p_1(\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_2+\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_1)+ p_2(-\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_1+\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_2)-\\ &p_3(\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_3+\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_2)- p_4(\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_3+\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_1)+ p_5(-\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_1-\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_2+2\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_3) ] \end{aligned}

p1=cos⁡λsin⁡δcos⁡2ϕ+sin⁡λsin⁡δcos⁡δsin⁡2ϕp2=cos⁡λsin⁡δsin⁡2ϕ−sin⁡λsin⁡δcos⁡δcos⁡2ϕp3=sin⁡λcos⁡2δcos⁡ϕ−cos⁡λcos⁡δsin⁡ϕp4=cos⁡λcos⁡δcos⁡ϕ+sin⁡λcos⁡2δsin⁡ϕp5=sin⁡λsin⁡δcos⁡δ\begin{aligned} p_1=& \cos\lambda\sin\delta\cos2\phi + \sin\lambda\sin\delta\cos\delta\sin2\phi \\ p_2=& \cos\lambda\sin\delta\sin2\phi - \sin\lambda\sin\delta\cos\delta\cos2\phi \\ p_3=& \sin\lambda\cos2\delta\cos\phi - \cos\lambda\cos\delta\sin\phi \\ p_4=& \cos\lambda\cos\delta\cos\phi + \sin\lambda\cos2\delta\sin\phi \\ p_5=& \sin\lambda\sin\delta\cos\delta \\ \end{aligned}

又已知

−M0(ω)(x^1x^2+x^2x^1)=M(0,π2,0)-M_0(\omega)(\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_2+\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_1) = \mathbf{M}(0, \frac{\pi}{2}, 0)

M0(ω)(−x^1x^1+x^2x^2)=M(0,π2,π4)M_0(\omega)(-\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_1+\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_2) = \mathbf{M}(0, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})

M0(ω)(x^2x^3+x^3x^2)=M(π2,π2,0)M_0(\omega)(\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_3+\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_2) = \mathbf{M}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, 0)

M0(ω)(x^1x^3+x^3x^1)=M(π2,π2,π2)M_0(\omega)(\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_3+\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_1) = \mathbf{M}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})

M0(ω)(−x^1x^1−x^2x^2+2x^3x^3)=M(0,π2,π4)+2M(π2,π4,0)M_0(\omega)(-\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_1-\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_2+2\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_3) = \mathbf{M}(0, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})+2\mathbf{M}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4},0)

上面的六个矩张量经过水平旋转整合后得到三个基本地震矩张量：

M(0,π2,0),M(π2,π4,0),M(π2,π2,0)\mathbf{M}(0, \frac{\pi}{2}, 0),\quad \mathbf{M}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4},0),\quad \mathbf{M}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, 0)

地震矩张量反演

已知位移场和与地震矩张量的各分量是线性关系，可以实现线性反演。定义

M1(ω)=M11(ω),G1(i)(x∣x0;ω)=∂Gi1(x∣x0;ω)∂x01M2(ω)=M22(ω),G2(i)(x∣x0;ω)=∂Gi2(x∣x0;ω)∂x02M3(ω)=M33(ω),G3(i)(x∣x0;ω)=∂Gi3(x∣x0;ω)∂x03M4(ω)=M12(ω),G4(i)(x∣x0;ω)=∂Gi1(x∣x0;ω)∂x02+∂Gi2(x∣x0;ω)∂x01M5(ω)=M13(ω),G5(i)(x∣x0;ω)=∂Gi1(x∣x0;ω)∂x03+∂Gi3(x∣x0;ω)∂x01M6(ω)=M23(ω),G6(i)(x∣x0;ω)=∂Gi2(x∣x0;ω)∂x03+∂Gi3(x∣x0;ω)∂x02\begin{align*} M_1(\omega) &= M_{11}(\omega), G_1^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i1}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{01}} \\ M_2(\omega) &= M_{22}(\omega), G_2^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i2}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{02}} \\ M_3(\omega) &= M_{33}(\omega), G_3^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i3}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{03}} \\ M_4(\omega) &= M_{12}(\omega), G_4^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i1}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{02}} + \frac{\partial G_{i2}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{01}} \\ M_5(\omega) &= M_{13}(\omega), G_5^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i1}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{03}} + \frac{\partial G_{i3}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{01}} \\ M_6(\omega) &= M_{23}(\omega), G_6^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i2}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{03}} + \frac{\partial G_{i3}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{02}} \end{align*}

那么位移场可以表示为

ui(x,ω)=Gj(i)(x∣x0;ω)Mj(ω)u_i(\mathbf{x}, \omega) = G_j^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) M_j(\omega)

可以基于此进行线性反演，求解地震矩张量。

地震辐射花样

在远场条件下，设震源指向接收点的单位矢量为 γ^\hat{\boldsymbol{\gamma}}，则一般矩张量源的 P 波辐射系数为

RP(γ^)=γ^iMijγ^jR_P(\hat{\boldsymbol{\gamma}}) =\hat{\gamma}_i M_{ij}\hat{\gamma}_j

S 波辐射矢量为

RS(γ^)=(I−γ^γ^T)Mγ^\mathbf{R}_S(\hat{\boldsymbol{\gamma}}) =\left(\mathbf{I}-\hat{\boldsymbol{\gamma}}\hat{\boldsymbol{\gamma}}^{\mathrm T}\right) \mathbf{M}\hat{\boldsymbol{\gamma}}

因此远场 P 波和 S 波位移可以分别表示为

uiP(x,t)=14πρα3rγ^iγ^jγ^kM˙jk(t−rα)u_i^P(\mathbf{x},t) =\frac{1}{4\pi\rho\alpha^3r} \hat{\gamma}_i\hat{\gamma}_j\hat{\gamma}_k \dot M_{jk}\left(t-\frac{r}{\alpha}\right)

uiS(x,t)=14πρβ3r(δij−γ^iγ^j)γ^kM˙jk(t−rβ)u_i^S(\mathbf{x},t) =\frac{1}{4\pi\rho\beta^3r} \left(\delta_{ij}-\hat{\gamma}_i\hat{\gamma}_j\right)\hat{\gamma}_k \dot M_{jk}\left(t-\frac{r}{\beta}\right)

其中 α\alpha 和 β\beta 分别为 P 波和 S 波速度，rr 为震源距。远场位移以 r−1r^{-1} 衰减，波形与地震矩的时间导数，即矩率函数有关。

对于纯剪切位错源

M=M0(n^v^+v^n^)\mathbf{M}=M_0 \left(\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{v}} +\hat{\mathbf{v}}\hat{\mathbf{n}}\right)

其 P 波辐射系数为

RP=2M0(γ^⋅n^)(γ^⋅v^)R_P=2M_0 \left(\hat{\boldsymbol{\gamma}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\right) \left(\hat{\boldsymbol{\gamma}}\cdot\hat{\mathbf{v}}\right)

当 γ^⋅n^=0\hat{\boldsymbol{\gamma}}\cdot\hat{\mathbf{n}}=0 或 γ^⋅v^=0\hat{\boldsymbol{\gamma}}\cdot\hat{\mathbf{v}}=0 时，P 波辐射为零。两个条件分别对应断层面和辅助面，这两个相互垂直的平面将震源球划分为四个象限，相邻象限的 P 波初动符号相反。

P 波辐射花样呈四叶形，最大辐射方向位于 P 轴和 T 轴附近；S 波在 P 波节面附近通常具有较强辐射，其振动方向位于垂直传播方向的平面内。

有限震源

当断层尺度远小于地震波波长和震源距时，可以将断层近似为点源。当观测频率升高，地震波能够分辨断层上不同位置的相位差时，需要考虑有限震源。

设断层面为 Σ\Sigma，断层面上各点的地震矩面密度为

mij(ξ,t)=μ(ξ)D(ξ,t)[n^i(ξ)v^j(ξ)+v^i(ξ)n^j(ξ)]m_{ij}(\boldsymbol{\xi},t) =\mu(\boldsymbol{\xi})D(\boldsymbol{\xi},t) \left[ \hat n_i(\boldsymbol{\xi})\hat v_j(\boldsymbol{\xi}) +\hat v_i(\boldsymbol{\xi})\hat n_j(\boldsymbol{\xi}) \right]

有限断层的总地震矩张量为

Mij(t)=∬Σmij(ξ,t)dΣM_{ij}(t)=\iint_{\Sigma} m_{ij}(\boldsymbol{\xi},t)\mathrm d\Sigma

若断层面上各点的震源机制基本相同，则标量矩率函数可以表示为

M˙0(t)=∬Σμ(ξ)D˙(ξ,t)dΣ\dot M_0(t) =\iint_{\Sigma} \mu(\boldsymbol{\xi})\dot D(\boldsymbol{\xi},t)\mathrm d\Sigma

矩率函数对时间的积分等于最终的标量地震矩：

M0=∫−∞+∞M˙0(t)dtM_0=\int_{-\infty}^{+\infty}\dot M_0(t)\mathrm dt

有限断层上不同位置具有不同的破裂时间和传播时间，因此同一地震在不同方位上可以具有不同的视震源时间函数。对于长度为 LL、破裂速度为 vrv_r 的单向破裂，若破裂方向与台站方向夹角为 θ\theta，其视持续时间近似为

Tapp≈L(1vr−cos⁡θc)T_{\mathrm{app}} \approx L\left(\frac{1}{v_r}-\frac{\cos\theta}{c}\right)

其中 cc 为所考察震相的波速。破裂朝向台站时，震源时间函数被压缩，持续时间缩短，高频成分相对增强；破裂背离台站时则相反，这种现象称为破裂方向性。

震源谱

将地震记录变换到频率域，可以将其表示为震源、传播路径、场地和仪器响应的乘积。校正传播路径和仪器响应后，可以估计震源谱。

对于远场位移记录，低频谱平台与标量地震矩 M0M_0 成正比。常用的 Brune ω−2\omega^{-2} 震源谱模型为

Ω(f)=Ω01+(f/fc)2\Omega(f)=\frac{\Omega_0}{1+(f/f_c)^2}

其中 Ω0\Omega_0 为低频谱平台，fcf_c 为拐角频率。

  • 当 f≪fcf\ll f_c 时，位移谱近似为常数，低频平台用于估计地震矩；
  • 当 f≫fcf\gg f_c 时，位移谱以 f−2f^{-2} 衰减；
  • 相应的速度谱高频端以 f−1f^{-1} 衰减，加速度谱高频端近似为常数。

拐角频率反映震源的特征尺度和持续时间。对于圆形裂纹模型，等效震源半径可以写为

a=kβfca=k\frac{\beta}{f_c}

其中 kk 是与震源模型、所用震相和拐角频率定义有关的常数。不同模型采用的 kk 不同，因此利用 fcf_c 估计震源尺度和应力降时，需要说明所采用的模型。

震源机制解

震源机制解描述断层面的空间取向和断层两盘的相对运动，通常由断层的走向、倾角和滑动角表示，也可以由地震矩张量或 P、T、B 三个主轴表示。

在纯剪切位错源中，P 波初动的压缩区和膨胀区被两个相互垂直的节面分开。将震源球的下半球投影到水平面上，可以得到通常所说的震源机制球或“沙滩球”。

常用的投影方式包括：

  • 极射赤面投影：等角投影，也称 Wulff 投影；
  • 等面积投影：也称 Schmidt 投影，能够保持震源球上的面积关系，目前使用较为普遍。

在震源机制球中：

  • 两条节线分别对应断层面和辅助面；
  • P 轴位于膨胀象限，表示最大压缩方向；
  • T 轴位于压缩象限，表示最大拉张方向；
  • B 轴为两个节面的交线，也称中间轴。

对于纯剪切位错源，矩张量在主轴坐标系中可以写为

M=[M00000000−M0]\mathbf{M} = \begin{bmatrix} M_0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-M_0 \end{bmatrix}

其三个特征向量分别对应 T、B、P 轴。若断层面法向单位矢量为 v^\hat{\mathbf{v}}，滑动方向单位矢量为 n^\hat{\mathbf{n}}，则

e^T=n^+v^2,e^P=n^−v^2\hat{\mathbf{e}}_T =\frac{\hat{\mathbf{n}}+\hat{\mathbf{v}}}{\sqrt{2}}, \qquad \hat{\mathbf{e}}_P =\frac{\hat{\mathbf{n}}-\hat{\mathbf{v}}}{\sqrt{2}}

e^B=n^×v^\hat{\mathbf{e}}_B =\hat{\mathbf{n}}\times\hat{\mathbf{v}}

震源机制解主要有两种求解方式：

  1. P 波初动法：根据多个台站记录到的 P 波压缩或膨胀初动确定两个节面；
  2. 波形反演法：利用 P 波、S 波或面波的完整波形反演地震矩张量。

仅依靠点源震源机制解无法区分两个节面中哪一个是真实断层面。需要结合余震分布、地表破裂、活动断层走向、有限断层反演结果或地质构造资料进一步判断。

应力降

地震发生前断层面上的初始剪应力记为 τ0\tau_0，地震停止后的最终剪应力记为 τf\tau_f，则静态应力降定义为

Δσ=τ0−τf\Delta\sigma=\tau_0-\tau_f

若破裂过程中断层面上的动态摩擦应力为 τd\tau_d，则还可以定义动态应力降 τ0−τd\tau_0-\tau_d。静态应力降和动态应力降反映的物理过程不同。

应力降不能直接从地震图中读取，通常需要根据地震矩和震源尺度进行估计。对于半径为 aa 的圆形裂纹模型，

Δσ=716M0a3\Delta\sigma =\frac{7}{16}\frac{M_0}{a^3}

代入

a=kβfca=k\frac{\beta}{f_c}

得到

Δσ=716M0(fckβ)3\Delta\sigma =\frac{7}{16}M_0 \left(\frac{f_c}{k\beta}\right)^3

因此应力降对拐角频率十分敏感，fcf_c 的误差会以三次方影响应力降估计。

若不同尺度地震的应力降近似不变，则有

M0∝a3M_0\propto a^3

进一步得到

a∝M01/3,Dˉ∝M01/3,fc∝M0−1/3a\propto M_0^{1/3}, \qquad \bar D\propto M_0^{1/3}, \qquad f_c\propto M_0^{-1/3}

这种关系称为地震的自相似标度关系。

震级

地震震级是表示地震大小的对数标度。传统震级的一般形式为

M=log⁡10(AT)+Q(Δ,h)+Cs+CrM=\log_{10}\left(\frac{A}{T}\right) +Q(\Delta,h)+C_s+C_r

其中 AA 为地震波振幅，TT 为周期，Q(Δ,h)Q(\Delta,h) 为震中距和震源深度校正，CsC_s 和 CrC_r 分别为台站和震源区校正。

常见震级包括：

震级主要依据特点
地方震级 MLM_L近震最大振幅适用于局地中小地震，大地震时发生饱和
体波震级 mbm_b短周期 P 波适用于远震快速测定，约在 6 级附近开始饱和
面波震级 MsM_s约 20 s 周期的面波适用于浅源地震，约在 8 级附近开始饱和
矩震级 MwM_w标量地震矩 M0M_0具有明确的物理基础，不发生传统的震级饱和

当 M0M_0 的单位为 N⋅m\mathrm{N\cdot m} 时，矩震级定义为

Mw=23[log⁡10M0−9.1]M_w=\frac{2}{3} \left[\log_{10}M_0-9.1\right]

反之

M0=101.5Mw+9.1 N⋅mM_0=10^{1.5M_w+9.1}\ \mathrm{N\cdot m}

矩震级每增加一级，地震矩约增加

101.5≈31.610^{1.5}\approx31.6

倍。

传统震级使用固定频段内的波振幅。当大地震的破裂尺度和持续时间继续增加时，新增能量主要集中在更低频率，固定短周期内的振幅不再随总地震矩同比增大，因此出现震级饱和。矩震级通过地震矩描述震源的整体尺度，可以避免这一问题。

需要区分震级和烈度：

  • 震级描述地震源的大小，一次地震只有一个震级；
  • 烈度描述某一地点的震感和破坏程度，同一次地震在不同地点具有不同烈度。

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