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外观

震源理论

约 1934 字大约 6 分钟

2026-06-21

力系激发的位移场

单力激发的位移场

设单力的作用点为 x0\mathbf{x}_0，表示为

fi(x,t)=ai(t)δ(x−x0)f_i(\mathbf{x},t) = a_i(t) \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)

频率域为

fi(x,ω)=ai(ω)δ(x−x0)f_i(\mathbf{x},\omega) = a_i(\omega) \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)

其激发的位移场可以表示为

ui(x,ω)=Gik(x∣x0;ω)ak(ω)u_i(\mathbf{x},\omega) = G_{ik}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0; \omega) a_k(\omega)

其中 Gik(x∣x0;ω)G_{ik}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0; \omega) 是格林函数，表示点 x0\mathbf{x}_0 处 xkx_k 方向的脉冲单力激发的位移场在点 x\mathbf{x} 处 xix_i 方向的响应。

力偶激发的位移场

设一对力偶，力臂中心为 x0\mathbf{x}_0，力臂长度为 ε\varepsilon，力臂单位矢量为 v^\hat{\mathbf{v}}，一个单力表示为 a(ω)\mathbf{a}(\omega)，另一个单力表示为 −a(ω)-\mathbf{a}(\omega)。

其激发的位移场可以表示为

ui(x,ω)=∂Gik(x∣x0;ω)∂x0jn^kv^jM0(ω)u_i(\mathbf{x},\omega) = \frac{\partial G_{ik}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0; \omega)}{\partial x_{0j}} \hat{n}_k \hat{v}_j M_0(\omega)

其中 n^\hat{\mathbf{n}} 是力的单位矢量，M0(ω)=εa(ω)M_0(\omega) = \varepsilon a(\omega) 为地震矩谱。

定义地震矩张量为

Mij(ω)=n^iv^jM0(ω)M_{ij}(\omega) = \hat{n}_i \hat{v}_j M_0(\omega)

地震断层位错

将震源过程简化为断层的纯剪切滑动，那么一个断层的位错可以由走向、倾角和滑动角三个参数表征。

震源位错理论表明，地震的剪切位错源（断层的滑动方向与断层面法线方向垂直）等价于无矩双力偶力系分布，力臂与力垂直，断层下盘的法向单位矢量对应于力臂方向单位矢量 v^\hat{\mathbf{v}}，断层上盘相对于下盘的位错方向单位矢量对应于力的单位矢量 n^\hat{\mathbf{n}}。或者，断层下盘的法向单位矢量对应于力的单位矢量 n^\hat{\mathbf{n}}，断层上盘相对于下盘的位错方向单位矢量对应于力臂方向单位矢量 v^\hat{\mathbf{v}}。

地震矩的一般表述

对于各向同性介质中的点源，地震矩张量的一般表达式为

M(ω)=[λμn^⋅v^I+(n^v^+v^n^)]M0(ω)\mathbf{M}(\omega) = \left[\frac{\lambda}{\mu} \hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{v}} \mathbf{I} + (\hat{\mathbf{n}} \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \hat{\mathbf{n}})\right] M_0(\omega)

其中 M0(ω)=μD(ω)AM_0(\omega)=\mu D(\omega) A 为地震矩谱，D(ω)D(\omega) 为上盘相对于下盘的位错量，AA 为位错面积。

震源类型地震矩张量
压缩中心M=IM0\mathbf{M} = \mathbf{I} M_0
纯剪切位错源M=(n^v^+v^n^)M0(n^⊥v^)\mathbf{M} = (\hat{\mathbf{n}} \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \hat{\mathbf{n}}) M_0 \quad (\hat{\mathbf{n}} \perp \hat{\mathbf{v}})
纯扩张源M=(λμI+2v^v^)M0(n^∥v^)\mathbf{M} = \left(\frac{\lambda}{\mu}\mathbf{I} + 2\hat{\mathbf{v}} \hat{\mathbf{v}} \right) M_0 \quad (\hat{\mathbf{n}} \parallel \hat{\mathbf{v}})

地震矩的分解

对于一般的地震矩张量，可以求解出其特征值和特征向量，以及对应的主轴坐标系。在主轴坐标系中，地震矩张量等价于三个相互垂直的力偶极子。

[M11M12M13M21M22M23M31M32M33]→[λ1000λ2000λ3]\begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix}

纯剪切位错源还原

一个纯剪切位错源在主轴坐标系下总可以表示成

[M0000−M00000]\begin{bmatrix} M_0 & 0 & 0 \\ 0 & -M_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

的形式。

但是受实际观测的影响，反演得到的震源机制解往往是一般形式，因此需要将地震矩张量分解。下面是一种常见的分解方法，将地震矩张量分解为压缩中心，主双力偶和次双力偶。

M=[λ1000λ2000λ3]=13[tr(M)000tr(M)000tr(M)]+[m1000−m10000]+[0000−m3000m3]\mathbf{M} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} tr(\mathbf{M}) & 0 & 0 \\ 0 & tr(\mathbf{M}) & 0 \\ 0 & 0 & tr(\mathbf{M}) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0 & -m_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -m_3 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{bmatrix}

m1=λ1−13tr(M),m2=λ2−13tr(M),m3=λ3−13tr(M)m_1 = \lambda_1 - \frac{1}{3} tr(\mathbf{M}), \quad m_2 = \lambda_2 - \frac{1}{3} tr(\mathbf{M}), \quad m_3 = \lambda_3 - \frac{1}{3} tr(\mathbf{M})

∣m1∣≥∣m2∣≥∣m3∣|m_1| \ge |m_2| \ge |m_3|

三个基本剪切位错

纯剪切位错源可由断层的走向 ϕ\phi，倾角 δ\delta 和滑动角 λ\lambda 描述，下面用这三个参数来表示剪切位错源的地震矩张量。

定义震中坐标系：

  • xx 轴：南，用 x^1\hat{\mathbf{x}}_1 表示
  • yy 轴：东，用 x^2\hat{\mathbf{x}}_2 表示
  • zz 轴：上，用 x^3\hat{\mathbf{x}}_3 表示

定义震源坐标系：

  • xx 轴：断层走向，用 e^1\hat{\mathbf{e}}_1 表示
  • yy 轴：断层倾向的负方向，用 e^2\hat{\mathbf{e}}_2 表示
  • zz 轴：上，用 e^3\hat{\mathbf{e}}_3 表示

e^1=−cos⁡ϕx^1+sin⁡ϕx^2e^2=−sin⁡ϕx^1−cos⁡ϕx^2e^3=x^3\hat{\mathbf{e}}_1 = -\cos \phi \hat{\mathbf{x}}_1 + \sin \phi \hat{\mathbf{x}}_2 \\ \hat{\mathbf{e}}_2 = -\sin \phi \hat{\mathbf{x}}_1 - \cos \phi \hat{\mathbf{x}}_2 \\ \hat{\mathbf{e}}_3 = \hat{\mathbf{x}}_3

v^=−sin⁡δe^2+cos⁡δe^3n^=cos⁡λe^1+sin⁡λcos⁡δe^2+sin⁡λsin⁡δe^3\hat{\mathbf{v}} = -\sin \delta \hat{\mathbf{e}}_2 + \cos \delta \hat{\mathbf{e}}_3 \\ \hat{\mathbf{n}} = \cos \lambda \hat{\mathbf{e}}_1 + \sin \lambda \cos\delta \hat{\mathbf{e}}_2 + \sin \lambda \sin\delta \hat{\mathbf{e}}_3

代入剪切位错源的地震矩张量表达式，得到

M(λ,δ,ϕ)=(n^v^+v^n^)M0(ω)=M0(ω)[−p1(x^1x^2+x^2x^1)+p2(−x^1x^1+x^2x^2)−p3(x^2x^3+x^3x^2)−p4(x^1x^3+x^3x^1)+p5(−x^1x^1−x^2x^2+2x^3x^3)]\begin{aligned} \mathbf{M}(\lambda, \delta, \phi) =& (\hat{\mathbf{n}} \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \hat{\mathbf{n}}) M_0(\omega)\\ =& M_0(\omega)[ -p_1(\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_2+\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_1)+ p_2(-\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_1+\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_2)-\\ &p_3(\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_3+\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_2)- p_4(\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_3+\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_1)+ p_5(-\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_1-\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_2+2\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_3) ] \end{aligned}

p1=cos⁡λsin⁡δcos⁡2ϕ+sin⁡λsin⁡δcos⁡δsin⁡2ϕp2=cos⁡λsin⁡δsin⁡2ϕ−sin⁡λsin⁡δcos⁡δcos⁡2ϕp3=sin⁡λcos⁡2δcos⁡ϕ−cos⁡λcos⁡δsin⁡ϕp4=cos⁡λcos⁡δcos⁡ϕ+sin⁡λcos⁡2δsin⁡ϕp5=sin⁡λsin⁡δcos⁡δ\begin{aligned} p_1=& \cos\lambda\sin\delta\cos2\phi + \sin\lambda\sin\delta\cos\delta\sin2\phi \\ p_2=& \cos\lambda\sin\delta\sin2\phi - \sin\lambda\sin\delta\cos\delta\cos2\phi \\ p_3=& \sin\lambda\cos2\delta\cos\phi - \cos\lambda\cos\delta\sin\phi \\ p_4=& \cos\lambda\cos\delta\cos\phi + \sin\lambda\cos2\delta\sin\phi \\ p_5=& \sin\lambda\sin\delta\cos\delta \\ \end{aligned}

又已知

−M0(ω)(x^1x^2+x^2x^1)=M(0,π2,0)-M_0(\omega)(\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_2+\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_1) = \mathbf{M}(0, \frac{\pi}{2}, 0)

M0(ω)(−x^1x^1+x^2x^2)=M(0,π2,π4)M_0(\omega)(-\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_1+\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_2) = \mathbf{M}(0, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})

M0(ω)(x^2x^3+x^3x^2)=M(π2,π2,0)M_0(\omega)(\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_3+\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_2) = \mathbf{M}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, 0)

M0(ω)(x^1x^3+x^3x^1)=M(π2,π2,π2)M_0(\omega)(\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_3+\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_1) = \mathbf{M}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})

M0(ω)(−x^1x^1−x^2x^2+2x^3x^3)=M(0,π2,π4)+2M(π2,π4,0)M_0(\omega)(-\hat{\mathbf{x}}_1\hat{\mathbf{x}}_1-\hat{\mathbf{x}}_2\hat{\mathbf{x}}_2+2\hat{\mathbf{x}}_3\hat{\mathbf{x}}_3) = \mathbf{M}(0, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})+2\mathbf{M}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4},0)

上面的六个矩张量经过水平旋转整合后得到三个基本地震矩张量：

M(0,π2,0),M(π2,π4,0),M(π2,π2,0)\mathbf{M}(0, \frac{\pi}{2}, 0),\quad \mathbf{M}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4},0),\quad \mathbf{M}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, 0)

地震矩张量反演

已知位移场和与地震矩张量的各分量是线性关系，可以实现线性反演。定义

M1(ω)=M11(ω),G1(i)(x∣x0;ω)=∂Gi1(x∣x0;ω)∂x01M2(ω)=M22(ω),G2(i)(x∣x0;ω)=∂Gi2(x∣x0;ω)∂x02M3(ω)=M33(ω),G3(i)(x∣x0;ω)=∂Gi3(x∣x0;ω)∂x03M4(ω)=M12(ω),G4(i)(x∣x0;ω)=∂Gi1(x∣x0;ω)∂x02+∂Gi2(x∣x0;ω)∂x01M5(ω)=M13(ω),G5(i)(x∣x0;ω)=∂Gi1(x∣x0;ω)∂x03+∂Gi3(x∣x0;ω)∂x01M6(ω)=M23(ω),G6(i)(x∣x0;ω)=∂Gi2(x∣x0;ω)∂x03+∂Gi3(x∣x0;ω)∂x02\begin{align*} M_1(\omega) &= M_{11}(\omega), G_1^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i1}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{01}} \\ M_2(\omega) &= M_{22}(\omega), G_2^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i2}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{02}} \\ M_3(\omega) &= M_{33}(\omega), G_3^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i3}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{03}} \\ M_4(\omega) &= M_{12}(\omega), G_4^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i1}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{02}} + \frac{\partial G_{i2}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{01}} \\ M_5(\omega) &= M_{13}(\omega), G_5^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i1}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{03}} + \frac{\partial G_{i3}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{01}} \\ M_6(\omega) &= M_{23}(\omega), G_6^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) = \frac{\partial G_{i2}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{03}} + \frac{\partial G_{i3}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega)}{\partial x_{02}} \end{align*}

那么位移场可以表示为

ui(x,ω)=Gj(i)(x∣x0;ω)Mj(ω)u_i(\mathbf{x}, \omega) = G_j^{(i)}(\mathbf{x}|\mathbf{x}_0;\omega) M_j(\omega)

可以基于此进行线性反演，求解地震矩张量。

地震辐射花样

有限震源

震源谱

震源机制解

应力降

震级

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