地震定位

约 1323 字大约 4 分钟

2026-06-06

在地震定位中，震源 (hypocenter) 被看成一个点，震源在地表的垂直投影叫震中 (epicenter)。地震定位就是为了确定震源的物理位置 $(x,y,z)$ 以及发震时刻 $t$ 。

我们假设：

震中位置估算

设介质速度均匀，震源坐标为 $(x, y, z)$ ，观测台站坐标为 $(x_\alpha, y_\alpha, z_\alpha)$ ，发震时刻为 $t$ ，则理论到时为

t_\alpha = \frac{1}{v} \sqrt{(x - x_\alpha)^2 + (y - y_\alpha)^2 + (z - z_\alpha)^2} + t

以地表观测台站为坐标原点，台站与震中得连线为 $X$ 轴，则

t^P = \frac{1}{\alpha} \sqrt{x^2 + z^2} + t

t^S = \frac{1}{\beta} \sqrt{x^2 + z^2} + t

S 波与 P 波的到时差为

t^S - t^P = (\frac{1}{\beta}-\frac{1}{\alpha}) \sqrt{x^2 + z^2}

假设 $z/x \ll 1$ ，则有

x \approx \frac{\alpha\beta}{\alpha-\beta} (t^S - t^P)

上式表明如果能获得 S 波与 P 波的到时差，就能估算出震中距。如果有三个以上的台站，就可以粗略估计出震中位置。

定义震源模型参数矢量

\mathbf{m} = (\mathbf{r}, t) = (x, y, z, t)

若已知台站坐标，由确定的震源模型参数可以计算理论到时

t^{cal}(\mathbf{m}) = T(\mathbf{r}) + t

其中 $T(\mathbf{r})$ 表示 $\mathbf{r}$ 处激发的地震射线的理论走时。

设先验震源模型为 $\mathbf{m}_0 = (\mathbf{r}_0, t_0)$ ，将走时 $T(\mathbf{r})$ 在 $\mathbf{r}_0$ 处做一阶泰勒展开，得

T(\mathbf{r}) = T(\mathbf{r}_0) + \nabla T(\mathbf{r}_0) \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)

将上式代入理论到时方程，得

t^{cal}(\mathbf{m})-t^{cal}(\mathbf{m}_0) = \nabla T(\mathbf{r}_0) \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) + (t-t_0)

设共有 $n$ 个台站，则有

\begin{bmatrix} t_1^{cal}|_{\mathbf{m}_0}^{\mathbf{m}}\\ t_2^{cal}|_{\mathbf{m}_0}^{\mathbf{m}}\\ \vdots \\ t_n^{cal}|_{\mathbf{m}_0}^{\mathbf{m}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial T_1(\mathbf{r}_0)}{\partial x} & \frac{\partial T_1(\mathbf{r}_0)}{\partial y} & \frac{\partial T_1(\mathbf{r}_0)}{\partial z} & 1 \\ \frac{\partial T_2(\mathbf{r}_0)}{\partial x} & \frac{\partial T_2(\mathbf{r}_0)}{\partial y} & \frac{\partial T_2(\mathbf{r}_0)}{\partial z} & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial T_n(\mathbf{r}_0)}{\partial x} & \frac{\partial T_n(\mathbf{r}_0)}{\partial y} & \frac{\partial T_n(\mathbf{r}_0)}{\partial z} & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x - x_0 \\ y - y_0 \\ z - z_0 \\ t - t_0 \end{bmatrix}

简写为

\mathbf{d} = \mathbf{G} \Delta\mathbf{m}

于是问题转化为一个最小二乘问题

\min_{\Delta \mathbf{m}} ||\mathbf{d}^{obs} - \mathbf{G} \Delta\mathbf{m}||^2

\mathbf{d}^{obs} = \begin{bmatrix} t_1^{obs}-t_1^{cal}|_{\mathbf{m}_0} \\ t_2^{obs}-t_2^{cal}|_{\mathbf{m}_0} \\ \vdots \\ t_n^{obs}-t_n^{cal}|_{\mathbf{m}_0} \end{bmatrix}

参考光路可逆性，可以得到

\nabla T(\mathbf{r}) \bigg|_{\mathbf{r}=\mathbf{r}_0} = - \frac{\mathbf{n}(\mathbf{r}_0)}{c}

其中 $\mathbf{n}(\mathbf{r}_0)$ 为先验震源点 $\mathbf{r}_0$ 处射线的出射方向单位矢量， $c$ 为 $\mathbf{r}_0$ 处的介质速度。

于是有

t_\alpha^{cal}|_{\mathbf{m}_0}^{\mathbf{m}} = -\frac{\mathbf{n}(\mathbf{r}_0)}{c} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) + (t-t_0)

设第 $\alpha$ 条射线的出射角为 $\theta_\alpha$ ，第 $\alpha$ 个观测台相对于先验震中的方位角为 $\phi_\alpha$ ，则有

\mathbf{n}(\mathbf{r}_0) = (\sin \theta_\alpha \cos \phi_\alpha, -\sin \theta_\alpha \cos \phi_\alpha, \pm \cos \theta_\alpha)

\frac{\mathbf{n}(\mathbf{r}_0)}{c} = (p_\alpha \sin\phi_\alpha, -p_\alpha \cos\phi_\alpha, \pm \sqrt{c^{-2} - p_\alpha^2})

当射线出射方向向下时取正号，向上时取负号。

假设已知一个地震的震源参数，称其为主地震，确定主地震附近地震相对于主地震的位置的方法叫主地震相对定位。由于主震区以外介质的非均匀性影响对主震区所有地震的影响基本相同，所以相对定位可以消除主震区以外介质的影响，从而提高定位精度。

设主地震震源参数为 $\mathbf{m}_0 = (x_0, y_0, z_0, t_0)$ ，附近地震的震源参数为 $\mathbf{m} = (x, y, z, t)$ 。对附近地震到第 $\alpha$ 个台站的到时在 $\mathbf{m}_0$ 处做一阶泰勒展开，得：

t_\alpha^{cal}(\mathbf{m}) = t_\alpha^{cal}(\mathbf{m}_0) + \frac{\partial t_\alpha^{cal}(\mathbf{m}_0)}{\partial \mathbf{m}} \cdot (\mathbf{m} - \mathbf{m}_0)

令

d_\alpha = t_\alpha^{cal}(\mathbf{m}) - t_\alpha^{cal}(\mathbf{m}_0),\quad G_{\alpha\beta} = \frac{\partial t_\alpha^{cal}(\mathbf{m}_0)}{\partial m_\beta},\quad \Delta m_\beta = m_\beta - m_{0,\beta}

同样可以写为线性方程形式

\mathbf{d} = \mathbf{G} \Delta\mathbf{m}

双差即为两个地震到同一个台站的走时残差之差，设有地震 $\mathbf{m}^\alpha$ 和 $\mathbf{m}^\beta$ ，台站 $i$ ，则双差为

d_{i,\alpha\beta} = [t_{i,\alpha}^{cal}(\mathbf{m}^\alpha) - t_{i,\beta}^{cal}(\mathbf{m}^\beta)] - [t_{i,\alpha}^{cal}(\mathbf{m}_0^\beta) - t_{i,\beta}^{cal}(\mathbf{m}_0^\beta)]

d_{i,\alpha\beta} = \frac{\partial t_{i,\alpha}^{cal}(\mathbf{m}_0)}{\partial \mathbf{m}} \cdot (\mathbf{m}^\alpha - \mathbf{m}^\alpha_0) - \frac{\partial t_{i,\beta}^{cal}(\mathbf{m}_0)}{\partial \mathbf{m}} \cdot (\mathbf{m}^\beta - \mathbf{m}^\beta_0)

设地震数目为 $K$ ，台站数目为 $N$ ，地震配对的数目为 $M$ ，则至多可以构建 $M \times N$ 个上式方程，把这些方程联立起来求解最小二乘问题，可以解出 $4 \times K$ 个地震参数的修正量。

版权归属：Staaaaaaaaar