地球的自由振荡
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2026-05-12
均匀液体球的自由振荡
设一个无外力作用的液态介质,半径为 r0,内部压力为 P。
广义胡克定律和几何方程表现为
P=−κ∇⋅u
运动方程表现为
ρ∂t2∂2u=−∇P
结合上面两式,我们可以得到波动方程:
∇2P=α21∂t2∂2P
其中 α=κ/ρ。
利用分离变量法,设 P=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T(t),解得
T(t)∝e±iωt
Θ(θ)Φ(ϕ)∝Ylm(θ,ϕ)≡(−1)m[4π2l+1(l+m)!(l−m)!]21Plm(cosθ)eimϕ
其中 Ylm(θ,ϕ) 是球谐函数,Plm(cosθ) 是连带勒让德函数。l,m 是整数,−l≤m≤l。
R(r)∝jl(αωr)
其中 jl 是球贝塞尔函数,有无穷多个零点,设其大于零的零点为 nxl(n=0,1,2,…)。
jl(x)=xl(−x1dxd)lxsinx
最终得到
P(r,t)∝(−1)m[4π2l+1(l+m)!(l−m)!]21Plm(cosθ)eimϕjl(αωr)e±iωt
应用自由表面边界条件,得
jl(αωr0)=0
要求频率 ω 必须取离散值
nωl=r0nxlα
综上所述,满足自由表面边界条件的解为
nPlm(r,t)∝jl(r0nωlr)Ylm(θ,ϕ)e±inωlt
其中 n 为径向序数,l 为角向序数,m 为方位序数。每个模式的频率由 n 和 l 决定,与 m 无关,因此每个模式具有 2l+1 的简并度。
由于波动方程的线性性质,压力场的一般解可以表示为
P(r,θ,ϕ,t)=Ren=0∑∞l=0∑∞m=−l∑ljl(r0nωlr)Ylm(θ,ϕ)(nAlme−inωlt+nBlmeinωlt)
引入矢量面谐函数,它们是球谐函数的矢量推广,在球坐标系下的矢量函数构成完备正交基:
Rlm(θ,ϕ)=Ylm(θ,ϕ)e^r
Slm(θ,ϕ)=l(l+1)1(∂θ∂Ylme^θ+sinθ1∂ϕ∂Ylme^ϕ)
Tlm(θ,ϕ)=l(l+1)1(sinθ1∂ϕ∂Ylme^θ−∂θ∂Ylme^ϕ)
R 表示径向分量;S 表示极向分量,对应切向的无旋场;T 表示方位分量,对应切向的无散场。
用其表征位移场 u,代入运动方程,得到位移表达式:
u(r,t)∝(drdjlRlm(θ,ϕ)+r[l(l+1)]1/2jlSlm(θ,ϕ))nωl2ρe±inωlt
上式表明,均匀液体球的自由振荡只用到了 R 和 S 两类矢量面谐函数。这是一种球型振荡,其主要特征为 ∇×u 的径向分量为零,即位移场的水平涡流为零。
自由振荡的振型
由地球的有限性以及自由表面边界条件可推出,地球的球型振荡频率是离散的,位移表达式可写为
nulm∝{nUl(r)Rlm(θ,ϕ)+nVl(r)Slm(θ,ϕ)}exp(−inωlt)
环型振荡的位移表达式为
nulm∝nWl(r)Tlm(θ,ϕ)exp(−inωlt)
其中 nUl(r),nVl(r),nWl(r) 为径向本征函数。


球型振荡用 nSlm 表示,不仅有水平方向的运动,也有径向的运动,由于其散度不为零,所以会引起密度的变化。
n 对应地球内部径向的节面数,l 对应角向的节面数,m 对应方位向的节面数。
环型振荡用 nTlm 表示,只有水平方向的运动,没有径向的运动,由于其散度为零,所以不会引起密度的变化。
n 对应地球内部径向的节面数,l−1 对应角向的节面数,m 对应方位向的节面数。
