地球的自由振荡

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2026-05-12

均匀液体球的自由振荡

设一个无外力作用的液态介质，半径为 $r_0$ ，内部压力为 $P$ 。

广义胡克定律和几何方程表现为

P=-\kappa \nabla \cdot \mathbf{u}

运动方程表现为

\rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2}=-\nabla P

结合上面两式，我们可以得到波动方程：

\nabla^2 P=\frac{1}{\alpha^2} \frac{\partial^2 P}{\partial t^2}

其中 $\alpha=\sqrt{\kappa / \rho}$ 。

利用分离变量法，设 $P = R(r) \Theta(\theta) \Phi(\phi) T(t)$ ，解得

T(t) \propto e^{\pm i \omega t}

\Theta(\theta) \Phi(\phi)\propto Y_{l}^{m}(\theta, \phi)\equiv (-1)^m\left[\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\right]^{\frac{1}{2}} P_{l}^{m}(\cos \theta) e^{i m \phi}

其中 $Y_{l}^{m}(\theta, \phi)$ 是球谐函数， $P_{l}^{m}(\cos \theta)$ 是连带勒让德函数。 $l,m$ 是整数， $-l \leq m \leq l$ 。

R(r) \propto j_l\left(\frac{\omega r}{\alpha}\right)

其中 $j_l$ 是球贝塞尔函数，有无穷多个零点，设其大于零的零点为 $_nx_l \,(n=0,1,2,\ldots)$ 。

j_l(x) = x^l \left(-\frac{1}{x} \frac{d}{dx}\right)^l \frac{\sin x}{x}

最终得到

P(\mathbf{r}, t) \propto (-1)^m\left[\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\right]^{\frac{1}{2}} P_{l}^{m}(\cos \theta) e^{i m \phi} j_l\left(\frac{\omega r}{\alpha}\right) e^{\pm i \omega t}

应用自由表面边界条件，得

j_l\left(\frac{\omega r_0}{\alpha}\right)=0

要求频率 $\omega$ 必须取离散值

_n\omega_l = \frac{_nx_l \alpha}{r_0}

综上所述，满足自由表面边界条件的解为

_nP_l^m(\mathbf{r}, t) \propto j_l\left(\frac{_n\omega_l r}{r_0}\right) Y_{l}^{m}(\theta, \phi) e^{\pm i {_n}\omega_l t}

其中 $n$ 为径向序数， $l$ 为角向序数， $m$ 为方位序数。每个模式的频率由 $n$ 和 $l$ 决定，与 $m$ 无关，因此每个模式具有 $2l+1$ 的简并度。

由于波动方程的线性性质，压力场的一般解可以表示为

P(r, \theta, \phi, t) = Re \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} j_l\left(\frac{_n\omega_l r}{r_0}\right) Y_{l}^{m}(\theta, \phi) (_nA_l^m e^{- i _n\omega_l t} + {_n}B_l^m e^{i _n\omega_l t})

引入矢量面谐函数，它们是球谐函数的矢量推广，在球坐标系下的矢量函数构成完备正交基：

\mathbf{R}_{l}^{m}(\theta, \phi) = Y_{l}^{m}(\theta, \phi) \hat{\mathbf{e}}_r

\mathbf{S}_{l}^{m}(\theta, \phi) = \frac{1}{\sqrt{l(l+1)}} \left(\frac{\partial Y_{l}^{m}}{\partial \theta} \hat{\mathbf{e}}_\theta + \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial Y_{l}^{m}}{\partial \phi} \hat{\mathbf{e}}_\phi \right)

\mathbf{T}_{l}^{m}(\theta, \phi) = \frac{1}{\sqrt{l(l+1)}} \left(\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial Y_{l}^{m}}{\partial \phi} \hat{\mathbf{e}}_\theta - \frac{\partial Y_{l}^{m}}{\partial \theta} \hat{\mathbf{e}}_\phi \right)

$\mathbf{R}$ 表示径向分量； $\mathbf{S}$ 表示极向分量，对应切向的无旋场； $\mathbf{T}$ 表示方位分量，对应切向的无散场。

用其表征位移场 $\mathbf{u}$ ，代入运动方程，得到位移表达式：

\mathbf{u}(\mathbf{r}, t) \propto \left(\frac{dj_l}{dr}\mathbf{R}_{l}^{m}(\theta, \phi)+\frac{[l(l+1)]^{1/2}}{r}j_l\mathbf{S}_{l}^{m}(\theta, \phi)\right)\frac{e^{\pm i _n\omega_l t}}{_n\omega_l^2 \rho}

上式表明，均匀液体球的自由振荡只用到了 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{S}$ 两类矢量面谐函数。这是一种球型振荡，其主要特征为 $\nabla \times \mathbf{u}$ 的径向分量为零，即位移场的水平涡流为零。

由地球的有限性以及自由表面边界条件可推出，地球的球型振荡频率是离散的，位移表达式可写为

_n\mathbf{u}_l^m \propto \left\{_nU_l(r)\mathbf{R}_{l}^{m}(\theta, \phi)+ {_n}V_l(r)\mathbf{S}_{l}^{m}(\theta, \phi)\right\}\exp(-i{_n}\omega_l t)

环型振荡的位移表达式为

_n\mathbf{u}_l^m \propto {_n}W_l(r)\mathbf{T}_{l}^{m}(\theta, \phi)\exp(-i{_n}\omega_l t)

其中 ${_n}U_l(r), {_n}V_l(r), {_n}W_l(r)$ 为径向本征函数。

球型振荡用 $_nS_l^m$ 表示，不仅有水平方向的运动，也有径向的运动，由于其散度不为零，所以会引起密度的变化。

$n$ 对应地球内部径向的节面数， $l$ 对应角向的节面数， $m$ 对应方位向的节面数。

环型振荡用 $_nT_l^m$ 表示，只有水平方向的运动，没有径向的运动，由于其散度为零，所以不会引起密度的变化。

$n$ 对应地球内部径向的节面数， $l-1$ 对应角向的节面数， $m$ 对应方位向的节面数。

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