地球的自由振荡

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2026-05-12

均匀液体球的自由振荡

设一个无外力作用的液态介质，半径为 $r_0$ ，内部压力为 $P$ 。

广义胡克定律和几何方程表现为

P=-\kappa \nabla \cdot \mathbf{u}

运动方程表现为

\rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2}=-\nabla P

结合上面两式，我们可以得到波动方程：

\nabla^2 P=\frac{1}{\alpha^2} \frac{\partial^2 P}{\partial t^2}

其中 $\alpha=\sqrt{\kappa / \rho}$ 。

利用分离变量法，设 $P = R(r) \Theta(\theta) \Phi(\phi) T(t)$ ，解得

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